Дано:ABCA1B1C1- прямоугольный параллелепипед, где AB=BC=1/2AA1, Найти угол (BD;CD1) и угол (AC;AC1)
Чтобы найти углы (BD;CD1) и (AC;AC1) в прямоугольном параллелепипеде ABCA1B1C1, где AB=BC=1/2 AA1, давайте сначала разберем геометрию параллелепипеда и соответствующие векторы.
Определение точек:
- Пусть точка A находится в начале координат: A(0, 0, 0).
- Тогда точка B(1/2, 0, 0), точка C(1/2, 1/2, 0), точка A1(0, 0, 1/2), точка B1(1/2, 0, 1/2), и точка C1(1/2, 1/2, 1/2).
Векторы:
- Вектор BD: B(1/2, 0, 0) к D(1/2, 1/2, 1/2) становится вектором: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (1/2, 1/2, 1/2) - (1/2, 0, 0) = (0, 1/2, 1/2) \]
- Вектор CD1: C(1/2, 1/2, 0) к D1(1/2, 1/2, 1/2) становится вектором: \[ \overrightarrow{CD1} = D1 - C = (1/2, 1/2, 1/2) - (1/2, 1/2, 0) = (0, 0, 1/2) \]
Нахождение угла (BD;CD1):
Используем формулу для угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD1}}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{CD1}|} \]
Сначала находим скалярное произведение: \[ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CD1} = (0, 1/2, 1/2) \cdot (0, 0, 1/2) = 0 + 0 + 1/4 = 1/4 \]
Затем находим длину векторов: \[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(0)^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ |\overrightarrow{CD1}| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (1/2)^2} = \frac{1}{2} \]
Подставляем значения в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{1/4}{(1/\sqrt{2})(1/2)} = \frac{1/4}{1/(2\sqrt{2})} = \frac{1/4 \cdot 2\sqrt{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Это означает, что: \[ \theta = 45^\circ \]
Нахождение угла (AC;AC1):
- Векторы: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1/2, 1/2, 0) - (0, 0, 0) = (1/2, 1/2, 0) \] \[ \overrightarrow{AC1} = A1 - A = (0, 0, 1/2) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1/2) \]
- Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC1} = (1/2, 1/2, 0) \cdot (0, 0, 1/2) = 0 \]
- Поскольку скалярное произведение равно нулю, углы (AC;AC1) перпендикулярны, т.е.: \[ \theta = 90^\circ \]
Ответ:
- Угол (BD;CD1) равен 45°, угол (AC;AC1) равен 90°.
