при каких a,b и c прямые у = ax + b, y = bx + с, у = сх + а проходят через точку А (1; 1)?
Чтобы выяснить, при каких значениях \(a\), \(b\) и \(c\) прямые \(y = ax + b\), \(y = bx + c\) и \(y = cx + a\) проходят через точку \(A(1, 1)\), необходимо подставить координаты точки \(A\) в уравнения каждой из прямых.
- Для прямой \(y = ax + b\):
\[ 1 = a \cdot 1 + b \implies 1 = a + b \tag{1} \]
- Для прямой \(y = bx + c\):
\[ 1 = b \cdot 1 + c \implies 1 = b + c \tag{2} \]
- Для прямой \(y = cx + a\):
\[ 1 = c \cdot 1 + a \implies 1 = c + a \tag{3} \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений:
\[ \begin{cases} a + b = 1 \\ b + c = 1 \\ c + a = 1 \end{cases} \]
Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выражаем \(b\):
\[ b = 1 - a \tag{4} \]
Подставим (4) во второе уравнение:
\[ (1 - a) + c = 1 \implies c = a \tag{5} \]
Теперь подставим (5) в третье уравнение:
\[ a + a = 1 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} \]
Теперь, подставив значение \(a\) в (4) и (5), найдем \(b\) и \(c\):
\[ b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] \[ c = \frac{1}{2} \]
Таким образом, решение системы:
\[ a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}, \quad c = \frac{1}{2} \]
Итак, прямые \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\), \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\), и \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\) проходят через точку \(A(1, 1)\) при этих значениях \(a\), \(b\) и \(c\).
