Доказать что четырехугольние с вершинами А(-3, 5,6), В(1, -5, 7), С(8, -3, -1) , Д(4, 7,-2) квадрат

Чтобы доказать, что четырехугольник с вершинами \( A(-3, 5, 6) \), \( B(1, -5, 7) \), \( C(8, -3, -1) \) и \( D(4, 7, -2) \) является квадратом, нужно проверить несколько условий.

1. Все стороны равны: Для квадрата все стороны должны быть равны по длине.
2. Углы прямые: Все уголки должны равняться 90 градусам.

Давайте начнем с вычисления длин сторон.

Длина отрезка \( AB \) вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Вычисление длин сторон:

• \( AB \): \[ AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2 + (7 - 6)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-10)^2 + (1)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117} \]

• \( BC \): \[ BC = \sqrt{(8 - 1)^2 + (-3 - (-5))^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{(7)^2 + (2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} \]

• \( CD \): \[ CD = \sqrt{(4 - 8)^2 + (7 - (-3))^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (10)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117} \]

• \( DA \): \[ DA = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (5 - 7)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + (8)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} \]

Таким образом, все стороны равны и составляют \(\sqrt{117}\).

Проверка углов:

Теперь проверим, являются ли углы прямыми, используя скалярное произведение векторов.

• Вектор \( AB \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-3), -5 - 5, 7 - 6) = (4, -10, 1) \]

• Вектор \( BC \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (8 - 1, -3 - (-5), -1 - 7) = (7, 2, -8) \]

Скалярное произведение \( AB \) и \( BC \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \cdot 7 + (-10) \cdot 2 + 1 \cdot (-8) = 28 - 20 - 8 = 0 \]

Аналогичные вычисления можно провести для других пар векторов, например, \( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} \), \( \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} \), и \( \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} \).

Если для всех пар векторов скалярное произведение равно нулю, то углы равны 90 градусам.

Заключение:

Если все стороны равны и все углы прямые, то четырехугольник является квадратом. Выполнив вышеизложенные шаги, вы сможете подтвердить, что данный четырехугольник действительно квадрат.