найдите наименошее значение функции y=2x2+bx+c ,если ее графику принадлежат точки А(-1;10) и В(2;13)

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 2x^2 + bx + c \), которая является параболой, необходимо сначала определить коэффициенты \( b \) и \( c \), используя точки \( A(-1;10) \) и \( B(2;13) \).

Подставим значения из точки \( A(-1; 10) \) в уравнение:

\[ 10 = 2(-1)^2 + b(-1) + c \] \[ 10 = 2 - b + c \] \[ -b + c = 8 \quad (1) \]

Теперь подставим значения из точки \( B(2; 13) \):

\[ 13 = 2(2)^2 + b(2) + c \] \[ 13 = 8 + 2b + c \] \[ 2b + c = 5 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( -b + c = 8 \) (уравнение 1)
2. \( 2b + c = 5 \) (уравнение 2)

Вычтем уравнение 1 из уравнения 2:

\[ (2b + c) - (-b + c) = 5 - 8 \] \[ 2b + c + b - c = -3 \] \[ 3b = -3 \] \[ b = -1 \]

Теперь подставим найденное значение \( b \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( c \). Возьмем уравнение (1):

\[ -(-1) + c = 8 \] \[ 1 + c = 8 \] \[ c = 7 \]

Теперь мы нашли коэффициенты \( b \) и \( c \):

• \( b = -1 \)
• \( c = 7 \)

Теперь функция имеет вид:

\[ y = 2x^2 - x + 7 \]

Наименьшее значение параболы достигается в её вершине. Для параболы \( y = ax^2 + bx + c \) координаты вершины определяются по формуле:

\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \]

Теперь подставим \( x = \frac{1}{4} \) в уравнение функции, чтобы найти наименьшее значение \( y \):

\[ y = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right) + 7 \] \[ y = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 7 \] \[ y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + 7 \] \[ y = -\frac{1}{8} + 7 \] \[ y = 7 - \frac{1}{8} = \frac{56}{8} - \frac{1}{8} = \frac{55}{8} \]

Таким образом, наименьшее значение функции \( y \) равно \( \frac{55}{8} \) или 6.875.