Решите в целых числах уравнение х2+23=у2. В ответе укажите количество пар(х;у), являющихся решением

Решим уравнение \(x^2 + 23 = y^2\). Мы можем переписать его в виде:

\[ y^2 - x^2 = 23 \]

Это уравнение можно факторизовать, используя формулу разности квадратов:

\[ (y - x)(y + x) = 23 \]

Теперь нам нужно найти целочисленные пары \((y - x)\) и \((y + x)\), произведение которых равно 23. Поскольку 23 является простым числом, его делители — это 1, 23 и -1, -23.

Рассмотрим все возможные пары целых чисел \((a, b)\), такие что \(a = y - x\) и \(b = y + x\):

1. \( (1, 23) \)
2. \( (-1, -23) \)
3. \( (23, 1) \)
4. \( (-23, -1) \)

Теперь решим каждую из этих систем для \((y - x)\) и \((y + x)\):

1. Для \( (1, 23) \): \[ y - x = 1 \\ y + x = 23 \] Складываем уравнения: \(2y = 24 \rightarrow y = 12\)
   Подставляем \(y\) в первое уравнение: \(12 - x = 1 \rightarrow x = 11\)
   Пара \((x, y) = (11, 12)\).

2. Для \( (-1, -23) \): \[ y - x = -1 \\ y + x = -23 \] Складываем: \(2y = -24 \rightarrow y = -12\)
   Подставляем: \(-12 - x = -1 \rightarrow x = -11\)
   Пара \((x, y) = (-11, -12)\).

3. Для \( (23, 1) \): \[ y - x = 23 \\ y + x = 1 \] Складываем: \(2y = 24 \rightarrow y = 12\)
   Подставляем: \(12 - x = 23 \rightarrow x = -11\)
   Пара \((x, y) = (-11, 12)\).

4. Для \( (-23, -1) \): \[ y - x = -23 \\ y + x = -1 \] Складываем: \(2y = -24 \rightarrow y = -12\)
   Подставляем: \(-12 - x = -23 \rightarrow x = 11\)
   Пара \((x, y) = (11, -12)\).

Теперь у нас есть все решения:

1. \((11, 12)\)
2. \((-11, -12)\)
3. \((-11, 12)\)
4. \((11, -12)\)

Таким образом, количество пар \((x, y)\), являющихся решениями уравнения, равно 4.