Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=4/x+x на отрезке [1;3]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции \( f(x) = \frac{4}{x} + x \) на отрезке \([1; 3]\), нам нужно рассмотреть значения функции в крайних точках отрезка и найти критические точки внутри отрезка.

1. Вычислим значения функции в крайних точках:

   • \( f(1) = \frac{4}{1} + 1 = 4 + 1 = 5 \)
   • \( f(3) = \frac{4}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.33 \)

2. Найдем производную функции \( f(x) \) и найдем критические точки: \[ f'(x) = -\frac{4}{x^2} + 1 \] Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ -\frac{4}{x^2} + 1 = 0 \] Отсюда: \[ \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{так как } x > 0) \]

3. Теперь вычислим значение функции в \( x = 2 \): \[ f(2) = \frac{4}{2} + 2 = 2 + 2 = 4 \]

4. Сравним все полученные значения:

   • \( f(1) = 5 \)
   • \( f(2) = 4 \)
   • \( f(3) \approx 4.33 \)

Теперь мы можем определить наименьшее и наибольшее значение:

• Наименьшее значение функции на отрезке \([1; 3]\) равно \( 4 \) при \( x = 2 \).
• Наибольшее значение функции на отрезке \([1; 3]\) равно \( 5 \) при \( x = 1 \).

Таким образом, наименьшее значение – 4, наибольшее значение – 5.