Найдите промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции y=x^3+3x^2-4

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( y = x^3 + 3x^2 - 4 \), а также экстремумы, следует выполнить несколько шагов.

1. Найдём производную функции. Производная покажет, в каких точках функция растёт или убывает.

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 4) = 3x^2 + 6x \]

2. Найдём критические точки. Критическими точками являются те значения \( x \), при которых производная равна нулю или не существует. Установим равенство:

\[ 3x^2 + 6x = 0 \]

Факторизуем:

\[ 3x(x + 2) = 0 \]

Таким образом, критические точки:

\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -2 \]

3. Определим знаки производной на промежутках. Для этого рассмотрим промежутки между критическими точками: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \) и \( (0, \infty) \).

• Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ y' = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0 \] Функция возрастает.

• Для \( -2 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \[ y' = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0 \] Функция убывает.

• Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \[ y' = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 > 0 \] Функция возрастает.

4. Подводим итоги:

   • Функция возрастает на промежутках \( (-\infty, -2) \) и \( (0, \infty) \).
   • Функция убывает на промежутке \( (-2, 0) \).

5. Найдём экстремумы:

   • По критической точке \( x = -2 \) функция имеет максимум (поскольку функция меняет рост на убывание).
   • По критической точке \( x = 0 \) функция имеет минимум (поскольку функция меняет убывание на рост).

Теперь можем подвести итог:

• Промежутки возрастания: \( (-\infty, -2) \) и \( (0, \infty) \)
• Промежуток убывания: \( (-2, 0) \)
• Экстремумы:
  • Максимум в \( x = -2 \)
  • Минимум в \( x = 0 \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужен более подробный анализ, не стесняйтесь задавать!