найдите промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции y=x^3+3x^2-4
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( y = x^3 + 3x^2 - 4 \), а также её экстремумы, нужно выполнить несколько шагов.
Найти производную функции. Производная функции \( y \) по \( x \) определяется как: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 4) = 3x^2 + 6x. \]
Найти критические точки. Критические точки находятся, когда производная равна нулю или неопределена: \[ 3x^2 + 6x = 0. \] Выносим общий множитель: \[ 3x(x + 2) = 0. \] Таким образом, мы получаем: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2. \]
Исследовать знаки производной. Для определения промежутков возрастания и убывания проведем анализ знаков производной \( y' \) на интервалах, заданных критическими точками: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \), \( (0, +\infty) \).
Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 \quad (> 0) \Rightarrow \text{возрастание.} \]
Для \( -2 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \[ y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 \quad (< 0) \Rightarrow \text{убывание.} \]
Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \[ y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 \quad (> 0) \Rightarrow \text{возрастание.} \]
Итоговые промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (0, +\infty) \).
- Функция убывает на интервале \( (-2, 0) \).
Экстремумы функции. Критическая точка \( x = -2 \) является максимумом, так как мы изменяемся от возрастания к убыванию, а \( x = 0 \) является минимумом, так как мы изменяемся от убывания к возрастанию.
Теперь мы можем подвести итог:
- Промежутки возрастания: \( (-\infty, -2) \) и \( (0, +\infty) \).
- Промежуток убывания: \( (-2, 0) \).
- Максимум в точке \( x = -2 \) и минимум в точке \( x = 0 \).
