X²+5x-8>0

Чтобы решить неравенство \( x^2 + 5x - 8 > 0 \), следуйте этим шагам:

1. Найти корни уравнения: Сначала решим квадратное уравнение \( x^2 + 5x - 8 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

   \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

   Здесь \( a = 1 \), \( b = 5 \), и \( c = -8 \).

   Подставляем значения:

   \[ x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-5 \pm \sqrt{{25 + 32}}}}{2} = \frac{{-5 \pm \sqrt{57}}}{2} \]

   Таким образом, корни уравнения:

   \[ x_1 = \frac{{-5 - \sqrt{57}}}{2}, \quad x_2 = \frac{{-5 + \sqrt{57}}}{2} \]

2. Анализ знака неравенства: Чтобы понять, где выражение положительно, нам нужно рассмотреть промежутки, заданные корнями. Эти корни находят точное значение, где парабола пересечет ось x.

   Парабола открыта вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен), значит, она будет принимать отрицательные значения между корнями и положительные вне их.

3. Промежутки: Известно, что:

   • Для \( x < x_1 \): \( x^2 + 5x - 8 > 0 \)
   • Для \( x_1 < x < x_2 \): \( x^2 + 5x - 8 < 0 \)
   • Для \( x > x_2 \): \( x^2 + 5x - 8 > 0 \)

Таким образом, неравенство \( x^2 + 5x - 8 > 0 \) выполнено для следующих промежутков:

\[ x < \frac{{-5 - \sqrt{57}}}{2} \quad \text{или} \quad x > \frac{{-5 + \sqrt{57}}}{2} \]

Это и будет ответом на ваше неравенство. Если есть дополнительные вопросы, задавайте!