Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = 1/4x^2+x- 4 и прямой, которая пересекает параболу в точках (-4; - 4) и (8;20).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = \frac{1}{4}x^2 + x - 4 \) и прямой, которая проходит через точки \((-4, -4)\) и \((8, 20)\), сначала найдем уравнение этой прямой.

1. Найдем уравнение прямой.

Для нахождения уравнения прямой воспользуемся формулой для наклона:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{20 - (-4)}{8 - (-4)} = \frac{24}{12} = 2. \]

Теперь имеем наклон \( m = 2 \). Подставим одну из точек (например, \((-4, -4)\)) в уравнение прямой в форме \( y - y_1 = m(x - x_1) \):

\[ y + 4 = 2(x + 4). \]

Упростим:

\[ y + 4 = 2x + 8 \quad \Rightarrow \quad y = 2x + 4. \]

2. Найдем точки пересечения.

Теперь у нас есть уравнения параболы и прямой:

• Парабола: \( y = \frac{1}{4}x^2 + x - 4 \)
• Прямая: \( y = 2x + 4 \)

Чтобы найти точки пересечения, приравняем их:

\[ \frac{1}{4}x^2 + x - 4 = 2x + 4. \]

Переносим все в одну сторону:

\[ \frac{1}{4}x^2 + x - 2x - 4 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4}x^2 - x - 8 = 0. \]

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ x^2 - 4x - 32 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144. \]

Решения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 12}{2} = \{ 8, -4 \}. \]

Эти же точки пересечения, которые мы знаем: \((-4, -4)\) и \((8, 20)\).

3. Найдем площадь фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно найти по следующей формуле:

\[ S = \int_{-4}^{8} (2x + 4 - \left(\frac{1}{4}x^2 + x - 4\right)) \, dx. \]

Упростим подынтегральное выражение:

\[ 2x + 4 - \left(\frac{1}{4}x^2 + x - 4\right) = 2x + 4 - \frac{1}{4}x^2 - x + 4 = -\frac{1}{4}x^2 + x + 8. \]

Теперь находим интеграл:

\[ S = \int_{-4}^{8} \left(-\frac{1}{4}x^2 + x + 8\right) \, dx. \]

Выражение интеграла станет:

\[ S = \left[-\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 8x\right]_{-4}^{8}. \]

Теперь подставим пределы:

\[ = \left[-\frac{1}{12}(8)^3 + \frac{1}{2}(8)^2 + 8(8)\right] - \left[-\frac{1}{12}(-4)^3 + \frac{1}{2}(-4)^2 + 8(-4)\right]. \]

Посчитаем каждую часть:

1. Для \( x = 8 \):

\[ -\frac{1}{12}(512) + \frac{1}{2}(64) + 64 = -\frac{512}{12} + 32 + 64 = -\frac{512}{12} + 96 = -\frac{512}{12} + \frac{1152}{12} = \frac{640}{12} = \frac{160}{3}. \]

2. Для \( x = -4 \):

\[ -\frac{1}{12}(-64) + \frac{1}{2}(16) - 32 = \frac{64}{12} + 8 - 32 = \frac{64}{12} + \frac{96}{12} - \frac{384}{12} = \frac{64 + 96 - 384}{12} = \frac{-224}{12} = -\frac{56}{3}. \]

Теперь подставим:

\[ S = \frac{160}{3} - \left(-\frac{56}{3}\right) = \frac{160 + 56}{3} = \frac{216}{3} = 72. \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, равна:

\[ \boxed{72}. \]