Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = 1/4x^2+x- 4 и прямой, которая пересекает параболу в точках (-4; - 4) и (8;20).

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \(y = \frac{1}{4}x^2 + x - 4\) и прямой, пересекающей параболу в точках \((-4; -4)\) и \((8; 20)\), сначала найдем уравнение этой прямой.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \((-4, -4)\) и \((8, 20)\).

Сначала найдем наклон (угловой коэффициент) прямой:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{20 - (-4)}{8 - (-4)} = \frac{24}{12} = 2. \]

Теперь используем точку \((-4, -4)\) для нахождения уравнения прямой с помощью формулы \(y - y_1 = k(x - x_1)\):

\[ y - (-4) = 2(x - (-4)), \] \[ y + 4 = 2(x + 4), \] \[ y + 4 = 2x + 8, \] \[ y = 2x + 4. \]

Таким образом, уравнение прямой:

\[ y = 2x + 4. \]

2. Найдем точки пересечения параболы и прямой.

Для этого приравняем уравнения параболы и прямой:

\[ \frac{1}{4}x^2 + x - 4 = 2x + 4. \]

Переносим все в одну часть:

\[ \frac{1}{4}x^2 + x - 2x - 4 - 4 = 0, \] \[ \frac{1}{4}x^2 - x - 8 = 0. \]

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ x^2 - 4x - 32 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144. \]

Находим корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 12}{2} = \{8, -4\}. \]

Эти значения \(x\) соответствуют уже известным точкам пересечения.

3. Найдем площадь фигуры, заключенной между параболой и прямой на отрезке \([-4, 8]\).

Для вычисления площади найдем разность между графиками на этом интервале:

\[ P = \int_{-4}^{8} (2x + 4 - \left(\frac{1}{4}x^2 + x - 4\right))\,dx. \]

Упрощаем интеграл:

\[ P = \int_{-4}^{8} \left(2x + 4 - \frac{1}{4}x^2 - x + 4\right)\,dx, \] \[ = \int_{-4}^{8} \left(-\frac{1}{4}x^2 + x + 8\right)\,dx. \]

Теперь найдем этот интеграл:

\[ = \left[-\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 8x\right]_{-4}^{8}. \]

Считаем при \(x = 8\):

\[ -\frac{1}{12} \cdot 8^3 + \frac{1}{2} \cdot 8^2 + 8 \cdot 8 = -\frac{512}{12} + 32 + 64 = -\frac{128}{3} + 32 + 64 = -\frac{128}{3} + \frac{96}{3} + \frac{192}{3} = \frac{160}{3}. \]

Теперь при \(x = -4\):

\[ -\frac{1}{12} \cdot (-4)^3 + \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 + 8 \cdot (-4) = -\frac{-64}{12} + 8 - 32 = \frac{16}{3} + 8 - 32 = \frac{16}{3} + \frac{24}{3} - \frac{96}{3} = -\frac{56}{3}. \]

Таким образом, площадь:

\[ P = \frac{160}{3} - \left(-\frac{56}{3}\right) = \frac{160}{3} + \frac{56}{3} = \frac{216}{3} = 72. \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, равна \(72\) квадратных единиц.