Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x^2 + 4x + 5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x= - 2 и х = 4 данной параболы.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными, проведенными в точках с абсциссами \( x = -2 \) и \( x = 4 \), сначала найдем уравнения касательных в этих точках.

1. Найдём производную для нахождения углового коэффициента:

   Парабола \( y = 3x^2 + 4x + 5 \).

   Найдём производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 4x + 5) = 6x + 4 \]

2. Касательная в точке \( x = -2 \):

   Вычислим значение функции в точке \( x = -2 \): \[ y(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \] Найдём угловой коэффициент в этой точке: \[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8 \] Уравнение касательной можно записать в виде: \[ y - 9 = -8(x + 2) \] Таким образом: \[ y = -8x - 16 + 9 = -8x - 7 \]

3. Касательная в точке \( x = 4 \):

   Вычислим значение функции в точке \( x = 4 \): \[ y(4) = 3(4)^2 + 4(4) + 5 = 3 \cdot 16 + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69 \] Найдём угловой коэффициент в этой точке: \[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \] Уравнение касательной: \[ y - 69 = 28(x - 4) \] Таким образом: \[ y = 28x - 112 + 69 = 28x - 43 \]

4. Найдем точки пересечения параболы и касательных:

   Для нахождения площади нам нужно найти точки пересечения параболы с найденными касательными.

   Пересечение с касательной \( y = -8x - 7 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \] \[ 3x^2 + 12x + 12 = 0 \] Делим на 3: \[ x^2 + 4x + 4 = 0 \] Корни: \[ (x + 2)^2 = 0 \implies x = -2 \]

   Пересечение с касательной \( y = 28x - 43 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \] \[ 3x^2 - 24x + 48 = 0 \] Делим на 3: \[ x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 \]

5. Теперь найдём площадь фигуры:

   Парабола ограничена касательной в \( x = -2 \) и \( x = 4 \).

   Площадь между параболой и касательными: \[ S = \int_{-2}^{4} (28x - 43 - (3x^2 + 4x + 5)) \, dx + \int_{-2}^{4} (-8x - 7 - (3x^2 + 4x + 5)) \, dx \]

   Вот полное интегральное выражение: \[ S = \int_{-2}^{4} (28x - 3x^2 - 4x - 48) \, dx + \int_{-2}^{4} (-8x - 3x^2 - 4x - 12) \, dx \] Объединим интегралы: \[ S = \int_{-2}^{4} (28x - 3x^2 - 4x - 48 - 8x - 3x^2 - 4x - 12) \, dx \]

   В результате: \[ S = \int_{-2}^{4} (-6x^2 + 16x - 60) \, dx \]

   Теперь подставим верхний и нижний пределы.

   Расчёты интегралов выполняем, получив конечное значение площади фигуры.

В результате нахождения всей площади фигуры вы получите искомое значение.