Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x^2 + 4x + 5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x= - 2 и х = 4 данной параболы.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 4x + 5 \) и касательными, проведёнными к такому уравнению в точках \( x = -2 \) и \( x = 4 \), следуем следующему алгоритму.
- Найдем уравнение касательной в точке \( x = -2 \).
Сначала найдем значение функции в \( x = -2 \): \[ y(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \]
Теперь найдем производную функции: \[ y' = 6x + 4 \] Находим её значение в точке \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8 \]
Теперь можем записать уравнение касательной: \[ y - 9 = -8(x + 2) \] Решим это уравнение: \[ y = -8x - 16 + 9 = -8x - 7 \]
- Найдем уравнение касательной в точке \( x = 4 \).
Находим значение функции в \( x = 4 \): \[ y(4) = 3(4^2) + 4(4) + 5 = 3 \cdot 16 + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69 \]
Также находим производную в этой точке: \[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \]
Записываем уравнение касательной: \[ y - 69 = 28(x - 4) \] Упростим: \[ y = 28x - 112 + 69 = 28x - 43 \]
- Найдем точки пересечения касательных и параболы.
Чтобы найти точки пересечения, приравняем параболу и касательные.
Для касательной \( y = -8x - 7 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \] Упрощаем: \[ 3x^2 + 12x + 12 = 0 \] Делим на 3: \[ x^2 + 4x + 4 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ (x + 2)^2 = 0 \implies x = -2 \]
Для касательной \( y = 28x - 43 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \] Упрощаем: \[ 3x^2 - 24x + 48 = 0 \] Делим на 3: \[ x^2 - 8x + 16 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 \]
Теперь у нас есть точки пересечения: \( x = -2 \) и \( x = 4 \).
- Вычислим площадь фигуры.
Площадь между кривой и линиями (касательными) будет: \[ S = \int_{-2}^{4} ((-8x - 7) - (3x^2 + 4x + 5)) \, dx \] Это равняется: \[ S = \int_{-2}^{4} (-3x^2 - 12x - 12) \, dx \]
Теперь вычислим интеграл: \[ S = \left[ -x^3 - 6x^2 - 12x \right]_{-2}^{4} \]
Сначала находим значение при \( x = 4 \): \[ -4^3 - 6(4^2) - 12(4) = -64 - 96 - 48 = -208 \]
Теперь находим значение при \( x = -2 \): \[ -(-2)^3 - 6(-2)^2 - 12(-2) = 8 - 24 + 24 = 8 \]
Теперь считаем площадь: \[ S = -208 - 8 = -216 \]
Так как площадь не может быть отрицательной, берём модуль: \[ S = 216 \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными, равна \( \boxed{216} \).
