Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x^2 + 4x + 5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x= - 2 и х = 4 данной параболы.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 4x + 5 \) и касательными к этой параболе в точках с абсциссами \( x = -2 \) и \( x = 4 \), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты точек касания.

   Для этого подставим \( x = -2 \) и \( x = 4 \) в уравнение параболы.

   • При \( x = -2 \): \[ y(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \] Таким образом, точка касания \( A(-2, 9) \).

   • При \( x = 4 \): \[ y(4) = 3(4)^2 + 4(4) + 5 = 3 \cdot 16 + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69 \] Таким образом, точка касания \( B(4, 69) \).

2. Найти производную параболы, чтобы определить наклон касательных.

   \[ y' = 6x + 4 \]

   Теперь находим производную в точках \( x = -2 \) и \( x = 4 \):

   • При \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8 \]

   • При \( x = 4 \): \[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \]

3. Составить уравнения касательных.

   Уравнение касательной в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \]

   • Для касательной в точке \( A(-2, 9) \): \[ y - 9 = -8(x + 2) \implies y = -8x - 16 + 9 \implies y = -8x - 7 \]

   • Для касательной в точке \( B(4, 69) \): \[ y - 69 = 28(x - 4) \implies y = 28x - 112 + 69 \implies y = 28x - 43 \]

4. Найти точки пересечения касательных и параболы.

   Для нахождения площади между кривыми, нужно сначала найти точки пересечения каждой касательной с параболой.

   • Пересечение параболы и касательной \( y = -8x - 7 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \] \[ 3x^2 + 12x + 12 = 0 \] Делим на 3: \[ x^2 + 4x + 4 = 0 \implies (x + 2)^2 = 0 \implies x = -2 \] Подставляем в параболу: \[ y(-2) = 9 \]

   • Пересечение параболы и касательной \( y = 28x - 43 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \] \[ 3x^2 - 24x + 48 = 0 \] Делим на 3: \[ x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 \] Подставляем в параболу: \[ y(4) = 69 \]

5. Находим площадь между кривыми.

   Площадь \( S \) между кривыми от \( x = -2 \) до \( x = 4 \): \[ S = \int_{-2}^4 (28x - 43 - (3x^2 + 4x + 5)) \, dx \] Упростим подынтегральное выражение: \[ S = \int_{-2}^4 (25x - 3x^2 - 48) \, dx \] Находим неопределённый интеграл: \[ \int (25x - 3x^2 - 48) \, dx = \frac{25x^2}{2} - x^3 - 48x \] Вычисляем определённый интеграл: \[ S = \left[ \frac{25(4^2)}{2} - (4^3) - 48(4) \right] - \left[ \frac{25(-2)^2}{2} - (-2)^3 - 48(-2) \right] \] Рассчитываем каждую часть: \[ = \left[ \frac{400}{2} - 64 - 192 \right] - \left[ \frac{100}{2} + 8 + 96 \right] \] \[ = [200 - 64 - 192] - [50 + 8 + 96] \] \[ = [-56] - [154] \] \[ = -56 - 154 = -210 \]

   Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берём модуль значения: \[ S = 210 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными, составляет \( 210 \) квадратных единиц.