Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x^2 + 4x + 5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x= - 2 и х = 4 данной параболы.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 4x + 5 \) и касательными к параболе в точках с абсциссами \( x = -2 \) и \( x = 4 \), выполните следующие шаги:

1. Найдите производную параболы, чтобы получить уравнение касательной.

   Парабола: \[ y = 3x^2 + 4x + 5 \]

   Производная: \[ y' = 6x + 4 \]

2. Найдите координаты точек касания параболы для \( x = -2 \) и \( x = 4 \):

   • Для \( x = -2 \): \[ y(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \] Наша точка: \( (-2, 9) \).

   • Для \( x = 4 \): \[ y(4) = 3(4)^2 + 4(4) + 5 = 3 \cdot 16 + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69 \] Наша точка: \( (4, 69) \).

3. Найдите уравнения касательных в этих точках:

   • Для \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8 \] Уравнение касательной: \[ y - 9 = -8(x + 2) \] Преобразуя, получаем: \[ y = -8x - 16 + 9 = -8x - 7 \]

   • Для \( x = 4 \): \[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \] Уравнение касательной: \[ y - 69 = 28(x - 4) \] Преобразуя, получаем: \[ y = 28x - 112 + 69 = 28x - 43 \]

4. Найдите точки пересечения касательных с параболой:

   Решим уравнение для пересечения касательной \( y = -8x - 7 \) с параболой: \[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \] Приведем к стандартному виду: \[ 3x^2 + 12x + 12 = 0 \] Упростим: \[ x^2 + 4x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

   Теперь найдем пересечение второй касательной \( y = 28x - 43 \) с параболой: \[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \] Приведем к стандартному виду: \[ 3x^2 - 24x + 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 8x + 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]

   Касательные пересекаются с параболой в тех же точках, что и были выбраны.

5. Найдите площадь, ограниченную этими двумя касательными и параболой:

   Найдем интеграл от разности функции параболы и касательных в пределах \( x = -2 \) и \( x = 4 \).

   \[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{4} \left((3x^2 + 4x + 5) - (-8x - 7)\right) dx + \int_{-2}^{4} \left((3x^2 + 4x + 5) - (28x - 43)\right) dx \]

   Однако, так как промежуток и функции (парабола выше касательных при этом интервале), мы можем объединить их.

   \[ = \int_{-2}^{4} \left(3x^2 + 4x + 5 + 8x + 7\right) dx = \int_{-2}^{4} \left(3x^2 + 12x + 12\right) dx \]

   Посчитаем интеграл: \[ = \left[x^3 + 6x^2 + 12x\right]_{-2}^{4} \]

   Подставим пределы: \[ = \left(4^3 + 6 \cdot 4^2 + 12 \cdot 4\right) - \left((-2)^3 + 6 \cdot (-2)^2 + 12 \cdot (-2)\right) \] \[ = (64 + 96 + 48) - (-8 + 24 - 24) \] \[ = 208 - (-8) = 208 + 8 = 216 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данной параболой и касательными, равна \( 216 \) квадратных единиц.