Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x^2 + 4x + 5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x= - 2 и х = 4 данной параболы.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 4x + 5 \) и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами \( x = -2 \) и \( x = 4 \), необходимо выполнить следующие шаги.
Найти координаты точек касания:
Сначала подставим \( x = -2 \) в уравнение параболы: \[ y(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9. \] Точка касания: \( (-2, 9) \).
Теперь подставим \( x = 4 \): \[ y(4) = 3(4)^2 + 4(4) + 5 = 3 \cdot 16 + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69. \] Точка касания: \( (4, 69) \).
Найти производную параболы для определения углового коэффициента касательной: \[ y' = 6x + 4. \]
Теперь найдём угловые коэффициенты касательных в точках касания:
Для \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8. \] Уравнение касательной: \[ y - 9 = -8(x + 2) \Rightarrow y = -8x - 16 + 9 = -8x - 7. \]
Для \( x = 4 \): \[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28. \] Уравнение касательной: \[ y - 69 = 28(x - 4) \Rightarrow y = 28x - 112 + 69 = 28x - 43. \]
Найдём точки пересечения касательных с параболой:
Решим систему уравнений, составляя уравнения параболы и касательных.
Сначала для касательной \( y = -8x - 7 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \Rightarrow 3x^2 + 12x + 12 = 0. \] Делим на 3: \[ x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2. \]
Теперь для касательной \( y = 28x - 43 \): \[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \Rightarrow 3x^2 - 24x + 48 = 0. \] Делим на 3: \[ x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4. \]
В итоге, касательные касаются параболы в точках с абсциссами \( x = -2 \) и \( x = 4 \) соответственно.
Вычисление площади между параболой и касательными:
Теперь нужно найти площадь между параболой и касательными. Для этого нужно вычислить определённые интегралы от точки \( x = -2 \) до \( x = 4 \): \[ S = \int_{-2}^{4} ((28x - 43) - (3x^2 + 4x + 5)) \,dx + \int_{-2}^{4} ((3x^2 + 4x + 5) - (-8x - 7)) \,dx. \] Упрощаем: \[ S = \int_{-2}^{4} (28x - 43 - 3x^2 - 4x - 5) \,dx + \int_{-2}^{4} (3x^2 + 4x + 5 + 8x + 7) \,dx. \]
Объединим: \[ S = \int_{-2}^{4} (-3x^2 + 24x - 48) \,dx. \]
Вычислим интеграл: \[ = \left[ -x^3 + 12x^2 - 48x \right]_{-2}^{4}. \]
Найдём значение в верхнем пределе \( x = 4 \): \[ -4^3 + 12 \cdot 4^2 - 48 \cdot 4 = -64 + 192 - 192 = -64. \]
Найдём значение в нижнем пределе \( x = -2 \): \[ -(-2)^3 + 12 \cdot (-2)^2 - 48 \cdot (-2) = 8 + 48 + 96 = 152. \]
Площадь: \[ S = | -64 - 152 | = 88. \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными, равна \( \boxed{88} \).
