Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А(3; 0), B(0; 5), C(-3; 0) D(0-5) является квадратом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(3; 0), B(0; 5), C(-3; 0) и D(0; -5) является квадратом, необходимо проверить несколько условий: все стороны должны быть равны, а углы должны быть прямыми.

1. Найдём длины сторон:

• Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

• Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

• Длина стороны CD: \[ CD = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-5 - 0)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

• Длина стороны DA: \[ DA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-5))^2} = \sqrt{(3)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

Таким образом, все четыре стороны равны: \( AB = BC = CD = DA = \sqrt{34} \).

2. Проверим перпендикулярность сторон (углы 90°):

Чтобы проверить, являются ли углы прямыми, можно найти скалярное произведение векторов:

• Вектор AB: \( (0 - 3, 5 - 0) = (-3, 5) \)
• Вектор BC: \( (-3 - 0, 0 - 5) = (-3, -5) \)

Скалярное произведение векторов AB и BC: \[ AB \cdot BC = (-3)(-3) + (5)(-5) = 9 - 25 = -16 \]

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, векторы AB и BC перпендикулярны, значит угол A = 90°.

Аналогично проверим для следующих пар векторов:

• Вектор CD: \( (0 - (-3), -5 - 0) = (3, -5) \)

Скалярное произведение векторов BC и CD: \[ BC \cdot CD = (-3)(3) + (-5)(-5) = -9 + 25 = 16 \] Это положительное значение, что указывает на 90° угол.

• Вектор DA: \( (3 - 0, 0 - (-5)) = (3, 5) \)

Скалярное произведение векторов CD и DA: \[ CD \cdot DA = (3)(3) + (-5)(5) = 9 - 25 = -16 \]

• Скалярное произведение векторов DA и AB: \[ DA \cdot AB = (3)(-3) + (5)(5) = -9 + 25 = 16 \]

Таким образом, все углы равны 90°.

Мы доказали, что :

• Все стороны равны.
• Все углы прямые.

Следовательно, четырёхугольник ABCD является квадратом.