Диагонали прямоугольника ABCD пересекается в точке О, ∠ABO = 36°. Найдите угол AOD.

Для решения задачи сначала нужно напомнить важные свойства прямоугольника и его диагоналей. В прямоугольнике диагонали не только равны, но и пересекаются в середине, образуя равные углы.

1. Обозначим углы, которые образуются при пересечении диагоналей:

   • Угол \( \angle ABO = 36° \) — это угол между стороной \( AB \) и диагональю \( AO \).
   • Из-за симметрии прямоугольника угол \( \angle DCO \) также равен \( 36° \).

2. Поскольку диагонали пересекаются в точке \( O \) и являются продолжениями друг друга, мы можем найти угол \( \angle AOD \): \[ \angle AOB + \angle BOC = 180° \] Углы \( \angle AOB \) и \( \angle DCO \) являются смежными.

3. Поскольку углы \( \angle ABO \) и \( \angle AOB \) являются смежными (и \( \angle AOB \) также равен углу \( \angle DCO \)), мы можем установить: \[ \angle AOB = \angle ABO + \angle AOD \]

4. Поскольку \( \angle AOB \) является внешним углом для треугольника \( ABO \), то: \[ \angle AOD = 2 \times \angle ABO \] Подставим значение: \[ \angle AOD = 2 \times 36° = 72° \]

Таким образом, угол \( AOD \) равен \( 72° \).