Найти площадь криволинейной трапеции если она ограничена графиком y=x^3 осью ix x=-1; x=2

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = x^3\), осью \(x\) и вертикальными линиями \(x = -1\) и \(x = 2\), нам необходимо вычислить определённый интеграл этой функции на заданном промежутке.

Формула для площади под кривой в пределах \(a\) и \(b\) выглядит так:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

В нашем случае функция \(f(x) = x^3\), \(a = -1\) и \(b = 2\). Следовательно, площадь можно выразить следующим образом:

\[ S = \int_{-1}^{2} x^3 \, dx \]

Теперь вычислим этот интеграл. Сначала найдём первообразную функции \(f(x) = x^3\):

\[ F(x) = \frac{x^4}{4} \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ S = F(2) - F(-1) = \left(\frac{2^4}{4}\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4}\right) \]

Вычисляем:

\[ F(2) = \frac{16}{4} = 4 \] \[ F(-1) = \frac{1}{4} \]

Таким образом, площадь будет равна:

\[ S = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} \]

Следовательно, площадь криволинейной трапеции составляет \(\frac{15}{4}\) квадратных единиц.