Аэростат объёмом V =800м³ наполнен гелием под давлением p=210Па. В результате солнечного нагрева температура газа в аэростат поднялась от t1=20°C до t2=45°C. На сколько увеличилась внутренняя энергия газа?
Чтобы рассчитать, на сколько увеличилась внутренняя энергия газа в аэростате, нам нужно использовать формулу для внутренней энергии идеального газа:
\[ \Delta U = n \cdot c_v \cdot \Delta T \]
где:
- \( \Delta U \) — изменение внутренней энергии,
- \( n \) — количество молей газа,
- \( c_v \) — удельная теплоемкость при постоянном объеме,
- \( \Delta T \) — изменение температуры.
- Сначала найдем количество молей газа \( n \). Используем уравнение состояния идеального газа:
\[ PV = nRT \]
где:
- \( P \) — давление (в Паскалях),
- \( V \) — объем (в кубических метрах),
- \( R \) — универсальная газовая постоянная, равная примерно \( 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} \),
- \( T \) — температура в Кельвинах.
Сначала преобразуем температуру из Цельсия в Кельвины:
\[ T_1 = 20 + 273.15 = 293.15 \, \text{K} \] \[ T_2 = 45 + 273.15 = 318.15 \, \text{K} \]
Теперь можно найти \( n \) при начальных условиях:
\[ n = \frac{PV}{RT_1} = \frac{210 \, \text{Па} \cdot 800 \, \text{м}³}{8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot 293.15 \, \text{K}} \]
Выполнив расчеты, получим:
\[ n \approx \frac{168000}{2438.1885} \approx 68.93 \, \text{моль} \]
- Теперь определим изменение температуры \( \Delta T \):
\[ \Delta T = T_2 - T_1 = 318.15 \, \text{K} - 293.15 \, \text{K} = 25 \, \text{K} \]
Для гелия удельная теплоемкость при постоянном объеме \( c_v \approx 12.47 \, \text{Дж/(моль·К)} \).
Подставляем значения в формулу для изменения внутренней энергии:
\[ \Delta U = n \cdot c_v \cdot \Delta T \] \[ \Delta U = 68.93 \, \text{моль} \cdot 12.47 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot 25 \, \text{K} \]
Выполнив расчеты, получим:
\[ \Delta U \approx 68.93 \cdot 12.47 \cdot 25 \approx 21471.91 \, \text{Дж} \]
Итак, увеличение внутренней энергии газа в аэростате составляет примерно 21471.91 Дж.
