2x²-13x+6≤0
Для решения неравенства \(2x^2 - 13x + 6 \leq 0\) начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(2x^2 - 13x + 6 = 0\).
Находим корни уравнения. Используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \(a = 2\), \(b = -13\) и \(c = 6\):
\[ D = (-13)^2 - 4 \times 2 \times 6 = 169 - 48 = 121 \]
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.
Находим корни по формуле:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \times 2} = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6 \]
\[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \times 2} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 6\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).
Определяем промежутки. Поскольку это квадратное неравенство, его графиком является парабола, открытая вверх (поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный). Корни \(x_1\) и \(x_2\) разделяют ось абсцисс на три промежутка:
- \( (-\infty, \frac{1}{2}) \)
- \( \left[\frac{1}{2}, 6\right] \)
- \( (6, +\infty) \)
Определяем знак в каждом промежутке:
- Для \(x < \frac{1}{2}\) (например, \(x = 0\)): \[ 2(0)^2 - 13(0) + 6 = 6 > 0 \]
- Для \(\frac{1}{2} < x < 6\) (например, \(x = 1\)): \[ 2(1)^2 - 13(1) + 6 = 2 - 13 + 6 = -5 < 0 \]
- Для \(x > 6\) (например, \(x = 7\)): \[ 2(7)^2 - 13(7) + 6 = 98 - 91 + 6 = 13 > 0 \]
Собираем результаты. Неравенство \(2x^2 - 13x + 6 \leq 0\) выполняется на промежутке \(\left[\frac{1}{2}, 6\right]\).
Таким образом, решение неравенства:
\[ x \in \left[\frac{1}{2}, 6\right] \]
