2tg²x-7tgx+3=0

Чтобы решить уравнение \(2\tan^2 x - 7\tan x + 3 = 0\), давайте сделаем замену переменной. Обозначим \(y = \tan x\). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 7y + 3 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\). Подставим значения:

\[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \] \[ y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \] \[ y = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} \] \[ y = \frac{7 \pm 5}{4} \]

Теперь найдем два корня:

1. \(y_1 = \frac{12}{4} = 3\)
2. \(y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Теперь вернемся к нашей замене \(\tan x = y\):

1. Для \(y_1 = 3\): \[ \tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Для \(y_2 = \frac{1}{2}\): \[ \tan x = \frac{1}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, у нас есть два семейства решений для уравнения \(2\tan^2 x - 7\tan x + 3 = 0\):

\[ x = \arctan(3) + k\pi \quad \text{и} \quad x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!