Представьте число 3 в виде суммы двух положитель- ных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого сла-гаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Обозначим два положительных слагаемых как \( x \) и \( y \). Нам необходимо решить задачу:

\[ x + y = 3 \]

и минимизировать величину

\[ S = 3x + y^3. \]

Подставим \( y = 3 - x \) в выражение для \( S \):

\[ S = 3x + (3 - x)^3. \]

Теперь раскроем куб:

\[ (3 - x)^3 = 27 - 27x + 9x^2 - x^3. \]

Подставляя это в \( S \), получаем:

\[ S = 3x + 27 - 27x + 9x^2 - x^3. \]

Соберем все члены:

\[ S = -x^3 + 9x^2 - 24x + 27. \]

Теперь, чтобы найти минимум данной функции, найдем её производную и приравняем её к нулю:

\[ S' = -3x^2 + 18x - 24. \]

Решим это уравнение:

\[ -3x^2 + 18x - 24 = 0. \]

Умножим на \(-1\):

\[ 3x^2 - 18x + 24 = 0. \]

Решим уравнение с использованием формулы для дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 324 - 288 = 36. \]

Корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm 6}{6}. \]

Получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{24}{6} = 4, \quad x_2 = \frac{12}{6} = 2. \]

Однако \( x_1 = 4 \) не является положительным слагаемым, так как оно больше 3. Поэтому мы берем \( x_2 = 2 \).

Подставим \( x = 2 \) для нахождения \( y \):

\[ y = 3 - 2 = 1. \]

Таким образом, \( x = 2 \) и \( y = 1 \).

Теперь проверим значение \( S \):

\[ S = 3 \cdot 2 + 1^3 = 6 + 1 = 7. \]

Проверим, что это минимум.

Для проверки второй производной:

\[ S'' = -6x + 18. \]

Подставим \( x = 2 \):

\[ S''(2) = -6 \cdot 2 + 18 = -12 + 18 = 6 > 0, \]

что указывает на минимум.

Таким образом, минимальное значение суммы \( S \) достигается при \( x = 2 \) и \( y = 1 \).

Ответ: \( 2 + 1 = 3 \) (слагаемые 2 и 1).