Найдите точку максимума функции y=(9-x) e в степени x+9
Чтобы найти точку максимума функции \( y = (9 - x) e^x + 9 \), сначала нужно определить производную этой функции и найти её критические точки.
Найдём производную функции:
\( y = (9 - x) e^x + 9 \)
Для удобства обозначим \( u = (9 - x) e^x \), тогда используем правило произведения:
\[ u' = (9 - x) e^x + (e^x)(-1) = (9 - x) e^x - e^x = (9 - x - 1) e^x = (8 - x) e^x \]
Так как производная 9 равна 0, то производная функции:
\[ y' = (8 - x) e^x \]
Найдём критические точки:
Чтобы найти точки максимумов и минимумов, приравняем производную к нулю:
\[ (8 - x) e^x = 0 \]
Поскольку \( e^x \) никогда не равен нулю, имеем:
\[ 8 - x = 0 \Rightarrow x = 8 \]
Определим, является ли это максимумом:
Для этого можно воспользоваться вторым производным тестом. Найдём вторую производную.
\[ y' = (8 - x) e^x \]
Найдём производную \( y' \):
\[ y'' = (8 - x) e^x + (-1)e^x = (8 - x - 1)e^x = (7 - x)e^x \]
Подставим \( x = 8 \):
\[ y''(8) = (7 - 8) e^8 = -1 \cdot e^8 < 0 \]
Это говорит о том, что в точке \( x = 8 \) находится максимум.
Найдём значение функции в этой точке:
Подставим \( x = 8 \) в исходное уравнение:
\[ y(8) = (9 - 8) e^8 + 9 = 1 \cdot e^8 + 9 = e^8 + 9 \]
Таким образом, точка максимума функции \( y = (9 - x) e^x + 9 \) находится в \( x = 8 \), а значение функции в этой точке равно \( e^8 + 9 \).
