Реши уравнение 3 tg x2+2 tg x-1=0

Для решения уравнения \(3 \tan^2 x + 2 \tan x - 1 = 0\) воспользуемся заменой переменной. Обозначим \(y = \tan x\), тогда уравнение можно переписать как:

\[3y^2 + 2y - 1 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -1\).

Подставим значения в формулу:

\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}. \]

Таким образом, мы получаем два значения для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\)
2. \(y_2 = \frac{-6}{6} = -1.\)

Теперь вернемся к нашей замене \(y = \tan x\) и найдем углы:

1. Для \(y_1 = \frac{1}{3}\):

\(\tan x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi,\) где \(k\) – любое целое число.

2. Для \(y_2 = -1\):

\(\tan x = -1 \Rightarrow x = \arctan(-1) + k\pi = -\frac{\pi}{4} + k\pi,\) где \(k\) – любое целое число.

Теперь у нас есть общее решение уравнения:

1. \(x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi,\)
2. \(x = -\frac{\pi}{4} + k\pi.\)

Вы можете подставить различные значения \(k\), чтобы получить другие решения в пределах нужного диапазона.