Y=-x²+2x+8 указать промежутки отрицательности
Чтобы найти промежутки отрицательности функции \( y = -x^2 + 2x + 8 \), сначала определим, когда эта функция меньше нуля, то есть \( y < 0 \).
Обнаружение корней функции. Для этого сначала найдем значения \( x \), при которых \( y = 0 \):
\[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \]
Умножим уравнение на -1, чтобы упростить его:
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
Теперь воспользуемся формулой дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
Здесь \( a = 1, b = -2, c = -8 \):
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]
\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \]
Анализ знака функции. Теперь мы знаем, что функция пересекает ось \( x \) в точках \( x = -2 \) и \( x = 4 \). Чтобы определить промежутки, в которых функция отрицательна, разделим ось \( x \) на интервалы по найденным корням:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Проверка знака функции на каждом интервале:
На интервале \( (-\infty, -2) \): Выберем точку, например, \( x = -3 \): \[ y = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7 \quad (\text{отрицательно}) \]
На интервале \( (-2, 4) \): Выберем точку, например, \( x = 0 \): \[ y = -(0)^2 + 2(0) + 8 = 8 \quad (\text{положительно}) \]
На интервале \( (4, +\infty) \): Выберем точку, например, \( x = 5 \): \[ y = -(5)^2 + 2(5) + 8 = -25 + 10 + 8 = -7 \quad (\text{отрицательно}) \]
Вывод. Функция отрицательна на интервалах:
\[ (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \]
Таким образом, промежутки, на которых функция \( y = -x^2 + 2x + 8 \) меньше нуля, — это \( (-\infty, -2) \) и \( (4, +\infty) \).
