y=-x²+2x+8 указать промежутки возрастания

Чтобы найти промежутки возрастания функции \( y = -x^2 + 2x + 8 \), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции:
   Производная функции \( y \) равна:
   \[ y' = \frac{d}{dx} (-x^2 + 2x + 8) = -2x + 2. \]

2. Найти критические точки:
   Установим производную равной нулю, чтобы найти значения \( x \), при которых функция может меняться:
   \[ -2x + 2 = 0. \]
   Решая это уравнение, получаем:
   \[ -2x = -2 \]
   \[ x = 1. \]

3. Определить промежутки возрастания и убывания:
   Теперь проверим знак производной на интервалах, которые определяются критической точкой \( x = 1 \). Мы рассмотрим два интервала: \( (-\infty, 1) \) и \( (1, +\infty) \).

   • Для интервала \( (-\infty, 1) \):
     Выберем точку, например \( x = 0 \):
     \[ y'(0) = -2(0) + 2 = 2 \] (положительное значение, значит, функция возрастает.)

   • Для интервала \( (1, +\infty) \):
     Выберем точку, например \( x = 2 \):
     \[ y'(2) = -2(2) + 2 = -2 \] (отрицательное значение, значит, функция убывает.)

4. Заключение:
   Функция \( y = -x^2 + 2x + 8 \) возрастает на интервале \( (-\infty, 1) \) и убывает на интервале \( (1, +\infty) \).

Таким образом, промежуток возрастания: \( (-\infty, 1) \).