Y=x²+6x+8 указать промежутки положительности и указать промежутки убывания
Чтобы определить промежутки положительности функции \( y = x^2 + 6x + 8 \) и промежутки убывания, сначала найдем ее корни, используя формулу квадратного уравнения.
Найти корни уравнения: Для этого используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = 8 \).
Подставляем значения: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
Дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляя значения: \[ x_1 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2}{2} = -4 \] \[ x_2 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2}{2} = -2 \]
Корни уравнения: \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = -2 \).
Промежутки положительности: Теперь исследуем функцию на каждом из интервалов, определяемых корнями:
\( (-\infty, -4) \)
\( (-4, -2) \)
\( (-2, +\infty) \)
Для \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \[ y = (-5)^2 + 6(-5) + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 \] (положительно)
Для \( -4 < x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ y = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \] (отрицательно)
Для \( x > -2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y = 0^2 + 6(0) + 8 = 8 \] (положительно)
Таким образом, функция положительна на промежутках: \[ (-\infty, -4) \cup (-2, +\infty) \]
Промежутки убывания: Поскольку это парабола, открытая вверх, она будет убывать на интервале от левого корня до правого. Функция убывает на промежутке: \[ (-4, -2) \]
Итак, в итоге:
- Промежутки положительности: \( (-\infty, -4) \cup (-2, +\infty) \)
- Промежутки убывания: \( (-4, -2) \)
Если есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь задавать их!
