Докажите тождества. cos⁴a+sin⁴a= 1-0, 5 sin²2a

Чтобы доказать тождество \( \cos^4 a + \sin^4 a = 1 - 0,5 \sin^2 2a \), начнем с левой части уравнения.

1. Напомним, что \( \sin^2 2a = (2 \sin a \cos a)^2 = 4 \sin^2 a \cos^2 a \). Это поможет нам выразить правую часть тождества через \( \sin^2 a \) и \( \cos^2 a \).

2. Разложим \( \cos^4 a + \sin^4 a \). Мы можем воспользоваться формулой: \[ x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 \] где \( x = \cos a \) и \( y = \sin a \). Таким образом, получаем: \[ \cos^4 a + \sin^4 a = (\cos^2 a + \sin^2 a)^2 - 2\cos^2 a \sin^2 a \]

3. Поскольку \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \), имеем: \[ \cos^4 a + \sin^4 a = 1^2 - 2\cos^2 a \sin^2 a = 1 - 2\cos^2 a \sin^2 a \]

4. Теперь заменим \( \cos^2 a \sin^2 a \) на \(\frac{1}{4} \sin^2 2a\), так как \( \sin^2 2a = 4\sin^2 a \cos^2 a \). Получается: \[ \cos^2 a \sin^2 a = \frac{1}{4} \sin^2 2a \]

5. Подставим это в наше равенство: \[ \cos^4 a + \sin^4 a = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2a = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2a \] То есть, \[ \cos^4 a + \sin^4 a = 1 - 0,5 \sin^2 2a \]

Таким образом, мы доказали тождество: \[ \cos^4 a + \sin^4 a = 1 - 0,5 \sin^2 2a \]