3x+1/x-3>-1
Чтобы решить неравенство \( \frac{3x + 1}{x - 3} > -1 \), следуем следующим шагам:
- Приведём неравенство к общему виду. Для этого сначала добавим 1 к обеим частям:
\[ \frac{3x + 1}{x - 3} + 1 > 0. \]
- Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{3x + 1 + (x - 3)}{x - 3} > 0. \]
Это упростится до:
\[ \frac{4x - 2}{x - 3} > 0. \]
- Теперь необходимо найти нули числителя и определитель. Числитель равен нулю, когда \( 4x - 2 = 0 \):
\[ 4x = 2 \implies x = \frac{1}{2}. \]
Знаменатель равен нулю, когда \( x - 3 = 0 \):
\[ x = 3. \]
Теперь у нас есть два критических значения: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 3 \). Эти точки разделяют числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, \frac{1}{2}) \), \( \left(\frac{1}{2}, 3\right) \) и \( (3, +\infty) \).
Теперь протестируем каждую из этих областей, чтобы определить, где неравенство выполняется.
- Для интервала \( (-\infty, \frac{1}{2}) \), например, \( x = 0 \):
\[ \frac{4(0) - 2}{0 - 3} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} > 0. \quad \text{(выполняется)} \]
- Для интервала \( \left(\frac{1}{2}, 3\right) \), например, \( x = 2 \):
\[ \frac{4(2) - 2}{2 - 3} = \frac{8 - 2}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 < 0. \quad \text{(не выполняется)} \]
- Для интервала \( (3, +\infty) \), например, \( x = 4 \):
\[ \frac{4(4) - 2}{4 - 3} = \frac{16 - 2}{1} = \frac{14}{1} > 0. \quad \text{(выполняется)} \]
- Теперь подытожим результаты. Решением неравенства \( \frac{4x - 2}{x - 3} > 0 \) является объединение интервалов:
\[ (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (3, +\infty). \]
Таким образом, итоговое решение:
\[ x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (3, +\infty). \]
