Вычислите: 178. 1) sin (+ẞ) 3л/2<α<2л, л<ẞ<3/2; 2) cos (α+ẞ) и соs (α-В), если sin &=8/17 и sin (α-ẞ), если соs α=4/5, sin ẞ=-3/5, cos ẞ=3/5, π/2<<л и зл/2<ẞ<2л. 3) sin (л/4+) и соs (л/4+α), если gα=-3/4, л/2<α<л. 153

Давайте разберемся с вашими задачами по тригонометрии шаг за шагом.

1) Вычислите \( \sin( \alpha + \beta) \), если \( 3\pi/2 < \alpha < 2\pi \), \( \pi < \beta < 3/2 \).

Для начала, необходимо вспомнить формулу для суммы синусов:

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) \]

Так как мы не имеем значений \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \), но знаем, что \( \sin(\alpha) < 0 \) и \( \cos(\alpha) < 0 \) (из-за расположения угла \( \alpha \) в III и IV координатных квадрантах), будет полезно воспользоваться единичной окружностью или основными тригонометрическими соотношениями.

Рассмотрим \( \beta \). \( \beta \) находится во втором квадранте (так как \( \pi < \beta < 3\pi/2 \)), откуда мы знаем, что \( \sin(\beta) > 0 \) и \( \cos(\beta) < 0 \). Давайте зададим \( \sin \beta = k \) и найдем \( \cos \beta \):

\[ k^2 + \cos^2 \beta = 1 \implies \cos \beta = -\sqrt{1 - k^2} \]

Теперь, чтобы продолжить, потребуются конкретные значения для \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\beta) \), которые затем можно подставить в формулу.

2) Вычислите \( \cos( \alpha + \beta) \) и \( \cos( \alpha - \beta) \), если \( \sin \beta = \frac{8}{17} \) и \( \sin( \alpha - \beta) \), если \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \sin \beta = -\frac{3}{5} \), \( \cos \beta = \frac{3}{5} \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) и \( \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi \).

Сначала найдем \( \cos(\alpha + \beta) \) и \( \cos(\alpha - \beta) \) по формулам:

\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \]

\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \]

Здесь \( \sin(\alpha) \) можно найти через \( \cos(\alpha) \):

\[ \sin(\alpha) = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\frac{3}{5} \]

Используя все эти значения, мы можем подставить в формулы. Не забудьте, что \( \cos( \beta) = \frac{3}{5} \) и \( \sin(\beta) = \frac{8}{17} \).

Теперь вычисляем:

\[ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} \]

\[ \cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} \]

3) Вычислите \( \sin( \frac{\pi}{4} + \alpha) \) и \( \cos( \frac{\pi}{4} + \alpha) \), если \( \sin \alpha = -\frac{3}{4} \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Для нахождения этих значений воспользуемся формулами:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(\alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(\alpha) \]

\[ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(\alpha) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(\alpha) \]

Значения \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \) и \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \) равны \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Используя значение для \( \sin \alpha \) и находя \( \cos \alpha \):

\[ \cos(\alpha) = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = -\frac{\sqrt{7}}{4} \]

Теперь подставляем это в формулы и вычисляем.

Если у вас остались вопросы или потребуется дополнительная помощь с расчетами, не стесняйтесь спрашивать!