Исследовать функцию: f(x)= 2x^3 -18x^2 + 48x+4 и построить график
Давайте исследуем функцию \( f(x) = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 4 \) и построим её график.
1. Нахождение производной
Для начала, найдём первую производную функции. Это поможет нам определить критические точки, где функция меняет своё поведение.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 18x^2 + 48x + 4) = 6x^2 - 36x + 48 \]
Теперь упростим производную:
\[ f'(x) = 6(x^2 - 6x + 8) \]
2. Нахождение критических точек
Мы решаем уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 6(x^2 - 6x + 8) = 0 \implies x^2 - 6x + 8 = 0 \]
Используя формулу квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = 4, \quad x_2 = 2 \]
3. Нахождение второго производной
Чтобы определить, является ли каждая из критических точек минимумом или максимумом, найдём вторую производную:
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 36x + 48) = 12x - 36 \]
Теперь подставим критические точки:
- Для \( x = 2 \):
\[ f''(2) = 12(2) - 36 = 24 - 36 = -12 \quad (\text{максимум}) \]
- Для \( x = 4 \):
\[ f''(4) = 12(4) - 36 = 48 - 36 = 12 \quad (\text{минимум}) \]
4. Нахождение значений функции в критических точках
Теперь найдем значения функции в этих точках:
- \( f(2) = 2(2^3) - 18(2^2) + 48(2) + 4 = 16 - 72 + 96 + 4 = 44 \)
- \( f(4) = 2(4^3) - 18(4^2) + 48(4) + 4 = 128 - 288 + 192 + 4 = 36 \)
5. Интервалы изменения функции
Теперь исследуем знаки первой производной:
- \( f'(x) < 0 \) для \( x < 2 \) (функция убывает)
- \( f'(x) = 0 \) в \( x = 2 \)
- \( f'(x) > 0 \) для \( 2 < x < 4 \) (функция возрастает)
- \( f'(x) = 0 \) в \( x = 4 \)
- \( f'(x) < 0 \) для \( x > 4 \) (функция убывает)
6. Построение графика
Теперь можно построить график функции, учитывая все найденные точки:
- Максимум в точке \( (2, 44) \)
- Минимум в точке \( (4, 36) \)
- Функция возрастает до \( x = 2 \), затем убывает до \( x = 4 \), а после — снова убывает.
Заключение
Таким образом, функция имеет максимум в \( (2, 44) \) и минимум в \( (4, 36) \). График функции будет выглядеть как восходящая кривая до точки 2, затем спадать до точки 4 и продолжать спадать дальше.
Построив график, вы сможете получить наглядное представление о поведении функции. Если у вас есть доступ к графическому калькулятору или программному обеспечению для графиков, вы можете подтвердить это визуально.
