Существуют ли такие значения переменной b , при которых значения выражений 7b^2+6 , b-7 и -8-9b^2 обращаются в последовательные члены арифметической прогрессии
Для того чтобы решить задачу, нам нужно определить условия, при которых значения выражений \(7b^2 + 6\), \(b - 7\) и \(-8 - 9b^2\) образуют последовательные члены арифметической прогрессии (АП).
Временная последовательность \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) образует АП, если выполняется условие:
\[ 2a_2 = a_1 + a_3 \]
В нашем случае:
- \(a_1 = 7b^2 + 6\)
- \(a_2 = b - 7\)
- \(a_3 = -8 - 9b^2\)
Подставим эти значения в условие для АП:
\[ 2(b - 7) = (7b^2 + 6) + (-8 - 9b^2) \]
Теперь упростим оба выражения:
Сначала посчитаем левую часть:
\[ 2(b - 7) = 2b - 14 \]
Теперь упростим правую часть:
\[ (7b^2 + 6) - 8 - 9b^2 = 7b^2 - 9b^2 + 6 - 8 = -2b^2 - 2 \]
Теперь у нас есть равенство:
\[ 2b - 14 = -2b^2 - 2 \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ 2b + 2b^2 - 14 + 2 = 0 \]
Упрощаем:
\[ 2b^2 + 2b - 12 = 0 \]
Далее делим все уравнение на 2:
\[ b^2 + b - 6 = 0 \]
Теперь применим формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\):
\[ D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня, которые мы найдем с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]
Теперь рассчитаем оба корня:
- \(b_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
- \(b_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Таким образом, значения переменной \(b\), при которых выражения \(7b^2 + 6\), \(b - 7\) и \(-8 - 9b^2\) становятся последовательными членами арифметической прогрессии, равны \(\mathbf{b = 2}\) и \(\mathbf{b = -3}\).
