Косинус угла, образованного векторами a+b и a-b

Для нахождения косинуса угла, образованного векторами \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \), можно воспользоваться определением косинуса угла между двумя векторами через их скалярное произведение.

Косинус угла \( \theta \) между векторами \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) определяется по формуле:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|} \]

В нашем случае векторы:

\[ \mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b} \] \[ \mathbf{v} = \mathbf{a} - \mathbf{b} \]

Теперь вычислим скалярное произведение \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \):

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \]

Поскольку скалярное произведение коммутативно (\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \)), выражение упрощается:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{a}|^2 - |\mathbf{b}|^2 \]

Теперь найдем длины векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \):

1. Длина вектора \( \mathbf{u} \):

\[ |\mathbf{u}| = |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})} \]

2. Длина вектора \( \mathbf{v} \):

\[ |\mathbf{v}| = |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})} \]

Теперь подставим всё в формулу для косинуса:

\[ \cos(\theta) = \frac{|\mathbf{a}|^2 - |\mathbf{b}|^2}{\sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})} \cdot \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}} \]

Это даст нам значение косинуса угла между векторами \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \). Если будут дополнительные вопросы или потребуется прояснение, не стесняйтесь задавать!