a=(2;-2;-3) b=(4;0;6) найти косинус угла образованного векторами a+b и a-b

Для нахождения косинуса угла между векторами \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем векторы \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \).

   У вас есть векторы: \[ \mathbf{a} = (2; -2; -3), \quad \mathbf{b} = (4; 0; 6) \]

   Теперь найдём \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (2 + 4; -2 + 0; -3 + 6) = (6; -2; 3) \]

   Теперь найдём \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = (2 - 4; -2 - 0; -3 - 6) = (-2; -2; -9) \]

2. Найдем скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \): \[ \mathbf{u} = (6; -2; 3), \quad \mathbf{v} = (-2; -2; -9) \] Скалярное произведение: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 6 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-2) + 3 \cdot (-9) = -12 + 4 - 27 = -35 \]

3. Найдем длины векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \):

   Длина вектора \( \mathbf{u} \): \[ |\mathbf{u}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]

   Длина вектора \( \mathbf{v} \): \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 4 + 81} = \sqrt{89} \]

4. Находим косинус угла \( \theta \) между векторами \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \): \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|} = \frac{-35}{7 \cdot \sqrt{89}} = \frac{-35}{7\sqrt{89}} = \frac{-5}{\sqrt{89}} \]

Таким образом, косинус угла, образованного векторами \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \), равен \( \frac{-5}{\sqrt{89}} \).