Сколько существует различных восьмизначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 2?
Для того чтобы найти количество восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна 2, нам нужно учесть несколько факторов.
Восьмизначное число записывается в форме \(d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8\), где \(d_1\) - первая цифра (она не может быть равна 0), а \(d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, d_8\) могут быть равны 0 или любым другим числом.
Если сумма всех цифр равна 2, то это означает, что только несколько из цифр могут быть ненулевыми.
Рассмотрим различные варианты распределения двух единиц среди восьми цифр:
- Две единицы и шесть нулей:
- Мы можем выбрать 2 позиции для единиц из 8 возможных. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента \(C(n, k)\), где \(n\) - общее количество позиций, а \(k\) - количество единиц. В нашем случае это будет \(C(8, 2)\).
- Формула вычисления биномиального коэффициента: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
- Так, мы получаем: \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28. \]
Теперь, есть один важный момент: первая цифра \(d_1\) не может быть равна нулю. Однако в нашем случае, поскольку суммы цифр равны 2 и мы имеем только 2 единицы, первой цифрой может быть только 1 (и не может быть двух единиц на первой позиции, так как в этом случае остальные будут нулями, что недопустимо). Следовательно, мы уже находимся в допустимой ситуации, и все 28 комбинаций корректны.
Таким образом, итоговое число различных восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна 2, составляет 28.
