Найти уравнение касательной,проведенной к графику функции y=x в квадрате +1 в точке Хо =2
Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нужно выполнить несколько шагов:
Найдите значение функции в точке \( x_0 = 2 \).
Найдите производную функции, чтобы определить угловой коэффициент касательной.
Используйте уравнение касательной в точке \( (x_0, y_0) \).
Подставим значение \( x_0 = 2 \) в функцию: \[ y = x^2 + 1 \] \[ y(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \] Таким образом, точка касания \( (2, 5) \).
Найдем производную функции \( y = x^2 + 1 \): \[ \frac{dy}{dx} = 2x \] Теперь подставим \( x_0 = 2 \): \[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x = 2} = 2 \cdot 2 = 4 \] Угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = 2 \) равен 4.
Теперь мы можем записать уравнение касательной. Уравнение касательной имеет вид: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \( m \) — угловой коэффициент, \( (x_0, y_0) \) — точка касания. Подставляем известные значения: \[ y - 5 = 4(x - 2) \]
Теперь упростим уравнение: \[ y - 5 = 4x - 8 \] \[ y = 4x - 3 \]
Итак, уравнение касательной к графику функции \( y = x^2 + 1 \) в точке \( x_0 = 2 \) будет: \[ y = 4x - 3 \]
