Композитный материал изготавливают, вырезая из алюминия (плотность ρ 1 = 2.7 г/см 3 ) строго периодическую вдоль двух взаимно перпендикулярных осей квадратную сетку с толщиной стенки d и длиной внутренней стороны ячейки 4d, фрагмент которой изображён на рисунке. Затем полости заполняют смолой, после затвердевания имеющей плотность ρ 2 =1.2 г/см 3 . Найдите среднюю плотность большого листа из такого материала.Ответ дайте в г/см^3с точностью не менее 0.01 г/см ^3
Чтобы найти среднюю плотность большого листа композитного материала, состоящего из алюминия и смолы, нужно рассчитать объемы каждого компонента и их массы.
Определим размеры ячейки и объёмы компонентов.
- Длина внутренней стороны ячейки: \( l = 4d \).
- Толщина стенки: \( d \).
Объем ячейки: Объем одного куба (ячейки) составляет: \[ V_{ячейки} = (4d)^3 = 64d^3. \]
Объем алюминия в одной ячейке: Мы знаем, что стенки ячейки имеют толщину \( d \). Объем алюминия, образующего стенки, можно представить как:
- Объем большого куба: \( V_{внешний} = (4d + 2d)^3 = 6^3d^3 = 216d^3 \) (где \( 2d \) — это добавленная толщина стенок с обеих сторон).
- Объем внутренней ячейки: \( V_{внутренний} = (4d)^3 = 64d^3 \). Таким образом, объем алюминия в одной ячейке: \[ V_{Al} = V_{внешний} - V_{внутренний} = 216d^3 - 64d^3 = 152d^3. \]
Объем смолы в одной ячейке: Объем заполненной смолой: \[ V_{смолы} = V_{внутренний} = 64d^3. \]
Плотность алюминия: Плотность алюминия \( \rho_1 = 2.7 \, \text{г/см}^3 \). Масса алюминия: \[ m_{Al} = \rho_1 \cdot V_{Al} = 2.7 \cdot 152d^3 = 410.4d^3. \]
Плотность смолы: Плотность смолы \( \rho_2 = 1.2 \, \text{г/см}^3 \). Масса смолы: \[ m_{смолы} = \rho_2 \cdot V_{смолы} = 1.2 \cdot 64d^3 = 76.8d^3. \]
Общая масса и объем композита:
- Общая масса: \[ m_{общая} = m_{Al} + m_{смолы} = 410.4d^3 + 76.8d^3 = 487.2d^3. \]
- Общий объем: \[ V_{общий} = V_{Al} + V_{смолы} = 152d^3 + 64d^3 = 216d^3. \]
Средняя плотность композитного материала: Средняя плотность вычисляется по формуле: \[ \rho_{средняя} = \frac{m_{общая}}{V_{общий}} = \frac{487.2d^3}{216d^3} = \frac{487.2}{216} \approx 2.26 \, \text{г/см}^3. \]
Таким образом, средняя плотность большого листа из такого композитного материала составляет примерно \( 2.26 \, \text{г/см}^3 \) с точностью 0.01 г/см³.
