Cos²x - 4sin x + 3 =0

Решим уравнение \( \cos^2 x - 4 \sin x + 3 = 0 \).

Сначала вспомним тригонометрическую идентичность: \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Подставим это в уравнение:

\[ 1 - \sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0. \]

Упрощаем:

\[ - \sin^2 x - 4 \sin x + 4 = 0. \]

Умножим все уравнение на -1 для удобства:

\[ \sin^2 x + 4 \sin x - 4 = 0. \]

Теперь обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение принимает вид:

\[ y^2 + 4y - 4 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1, b = 4, c = -4 \). Подставим значения:

\[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2}. \]

Упрощаем:

\[ y = -2 \pm 2\sqrt{2}. \]

Получаем два возможных значения для \( y \):

1. \( y_1 = -2 + 2\sqrt{2} \)
2. \( y_2 = -2 - 2\sqrt{2} \)

Теперь нужно проверить, находятся ли эти значения в диапазоне, допустимом для синуса (от -1 до 1).

1. Для \( y_1 = -2 + 2\sqrt{2} \approx -2 + 2 \times 1.414 \approx -2 + 2.828 \approx 0.828 \), это значение допустимо.
2. Для \( y_2 = -2 - 2\sqrt{2} \approx -2 - 2.828 \), это значение меньше -1, поэтому оно не подходит.

Таким образом, остаётся только \( y_1 = \sin x \approx 0.828 \).

Теперь найдём \( x \):

\[ x = \arcsin(0.828). \]

Это значение может принимать разные углы, учитывая, что синус положителен в первом и втором квадрантах:

\[ x_1 = \arcsin(0.828) + 2k\pi, \quad x_2 = \pi - \arcsin(0.828) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Таким образом, общим решением уравнения \( \cos^2 x - 4 \sin x + 3 = 0 \) являются значения \( x_1 \) и \( x_2 \) с учетом периода функции синуса.