Докажите что для всех nэN верно равенство

Привет! Давай разберемся с задачей.

Ты привел текст задачи: "Докажите, что для всех \(n \in \mathbb{N}\) верно равенство." Вопрос идет о математической индукции.

Ты показываешь, что нужно доказать разные формулы для суммы первых \(n\) членов разных последовательностей.

Давай решим один из случаев (например, пункт а):

Последовательность: \(1, 2 + 2, 3 + 3 + 3, \ldots\)

Нам нужно доказать, что \(S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}\).

Шаги доказательства:

1. База индукции: Проверим при n = 1.

   • Левая часть: S = 1.
   • Правая часть: \(\dfrac{1(1 + 1)}{2} = 1\).
   • Они равны, значит база индукции проходит.

2. Шаг индукции: Предположим, что для некоторого \(k\) утверждение верно: \(S_k = \dfrac{k(k + 1)}{2}\). Докажем, что тогда верно и для \(k + 1\).

   • Выразим \(S_{k+1}\): \(S_{k+1} = S_k + (k + 1)\).
   • Подставим предположение: \(S_{k+1} = \dfrac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)\).
   • Преобразуем: \(= \dfrac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} = \dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2}\).
   • Мы получили нужную формулу для \((k + 1)\).

Таким образом, по индукции доказывается равенство для всех \(n \in \mathbb{N}\).

Если нужно разобрать другие пункты, дай знать!