чему равняется косинус угла альфа если вектор а равен 1 -2 2 а вектор б 3 0 4

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), можно использовать формулу:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

Где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) — их длины.

Давайте сначала вычислим скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Векторы заданы как:

\[ \mathbf{a} = (1, -2, 2) \] \[ \mathbf{b} = (3, 0, 4) \]

Скалярное произведение вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]

Подставим значения:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 3 + 0 + 8 = 11 \]

Теперь найдем длины векторов \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\):

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:

\[ \cos(\alpha) = \frac{11}{3 \cdot 5} = \frac{11}{15} \]

Таким образом, косинус угла \(\alpha\) равен \(\frac{11}{15}\).