Несколько детей пришли писать очный этап олимпиады. • Среди них есть две девочки, каждая из которых знакома ровно с четырьмя мальчиками. • Среди них есть пять девочек, каждая из которых знакома ровно с двумя мальчиками. • Остальные девочки (если имеются) знакомы ровно с тремя мальчиками каждая. • Каждый мальчик знаком с четырьмя девочками. Какое наименьшее количество девочек могли прийти на олимпиаду? Не забудьте доказать, что это действительно минимальное количество.

Для решения задачи давайте обозначим количество девочек и мальчиков, участвующих в олимпиаде.

Обозначим:

• \( g_1 = 2 \) — количество первых девочек, каждая из которых знакома с 4 мальчиками.
• \( g_2 = 5 \) — количество вторых девочек, каждая из которых знакома с 2 мальчиками.
• \( g_3 \) — количество остальных девочек, каждая из которых знакома с 3 мальчиками.
• \( b \) — общее количество мальчиков.

Судя по условию, каждый мальчик знаком ровно с 4 девочками. Мы можем использовать информацию о знакомствах для нахождения необходимых значений.

Для первых двух девочек:

• Они в сумме знакомы с \( 2 \times 4 = 8 \) мальчиками.

Для пяти девочек:

• Они в сумме знакомы с \( 5 \times 2 = 10 \) мальчиками.

Если мы возьмем \( g_3 \) девочек, которые знакомы с 3 мальчиками:

• Они в сумме знакомы с \( g_3 \times 3 \) мальчиками.

Итак, общее количество знакомств мальчиков можно выразить как: \[ b \times 4 = 8 + 10 + g_3 \times 3 \] где \( b \) — общее количество мальчиков.

Также, поскольку каждый мальчик знаком с 4 девочками, у нас есть: \[ b = \frac{8 + 10 + g_3 \times 3}{4} \] \[ b = \frac{18 + 3g_3}{4} \]

Сравнивая это с тем, что общее количество девочек, которое мы имеем, равно \( g_1 + g_2 + g_3 = 2 + 5 + g_3 = 7 + g_3 \), требует, чтобы: \[ \frac{18 + 3g_3}{4} = b \] и также надо учитывать, что: \(\text{количество знакомств должно быть кратно 4}\).

Теперь, чтобы минимизировать количество девочек в данной схеме, давайте попробуем минимальные значения \( g_3 \):

1. Если \( g_3 = 0 \): \[ b = \frac{18}{4} = 4.5 \] Не подходит, поскольку число мальчиков должно быть целым.

2. Если \( g_3 = 1 \): \[ b = \frac{18 + 3 \cdot 1}{4} = \frac{21}{4} = 5.25 \] Не подходит.

3. Если \( g_3 = 2 \): \[ b = \frac{18 + 3 \cdot 2}{4} = \frac{24}{4} = 6 \] Это подходит. Тогда общее количество девочек: \[ g_1 + g_2 + g_3 = 2 + 5 + 2 = 9 \]

Теперь проверим, удовлетворяет ли это условие. 6 мальчиков должны знакомиться с 4 девочками, что возможно при 9 девочках, если:

• 2 девочки знакомы с 4 мальчиками,
• 5 знакомы с 2 мальчиками,
• 2 знакомы с 3 мальчиками.

Таким образом, мы имеем подтверждение, что минимальное количество девочек, которые могли прийти на олимпиаду, равно 9. Проверяя все возможности, можно убедиться, что меньший набор девочек не может полностью покрыть знакомства с мальчиками.