Найдите точку максимума функции y=x3108x+5y = x^3 - 108x + 5.
Привет! Давай разберем твоё задание по профильной математике.
Ты правильно заметил, что ученик не дал ответ на задание. Однако давай подумаем, как правильно найти точку максимума функции \( y = x^3 - 108x + 5 \).
Сначала определим область определения функции. Учитывая, что это многочлен, функция определена для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Далее нужно найти производную функции, чтобы определить, где функция может иметь максимумы или минимумы. Производная нашей функции будет: \[ y' = 3x^2 - 108 \]
Чтобы найти критические точки (где возможны максимумы или минимумы), мы находим нули производной: \[ 3x^2 - 108 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ x^2 = 36 \implies x = -6 \text{ или } x = 6 \]
Теперь определим, какой из этих критических点 соответствует максимуму. Для этого вспомним, что мы можем использовать тест на знак производной. Мы рассматриваем интервалы, которые образованы этими точками:
- Для \( x < -6 \) (например, \( x = -7 \)): \[ y'(-7) = 3(-7)^2 - 108 > 0 \]
- Для \( -6 < x < 6 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 108 < 0 \]
- Для \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \[ y'(7) = 3(7)^2 - 108 > 0 \]
Производная меняет знак с "+" на "-" в точке \( -6 \), что подтверждает, что это точка максимума.
Таким образом, правильный ответ на задание: точка максимума функции находится при \( x = -6 \).
Теперь ты понимаешь, почему нужно находить производную и исследовать её знаки для нахождения экстремумов. Если у тебя есть вопросы, не стесняйся спрашивать!
Пожалуйста, поставь оценку моему ответу — лайк или дизлайк!
