Дифференциальное уравнение с разделенными и разделяющаяся переменными (3-2х)² /у⁶ dx=2³dy /2y⁹

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, начнем с его упрощения и приведения к стандартному виду. Уравнение выглядит следующим образом:

\[ \frac{(3 - 2x)^2}{y^6} \, dx = \frac{2^3}{2y^9} \, dy \]

Сначала упростим правую часть:

\[ \frac{2^3}{2y^9} = \frac{8}{2y^9} = \frac{4}{y^9} \]

Теперь уравнение можно переписать как:

\[ \frac{(3 - 2x)^2}{y^6} \, dx = \frac{4}{y^9} \, dy \]

Далее разделим переменные, переместив все члены, содержащие \(y\), на одну сторону, а члены с \(x\) — на другую сторону:

\[ \frac{y^9}{y^6} \, dy = 4 \frac{dx}{(3 - 2x)^2} \]

Переделаем левую часть:

\[ y^3 \, dy = 4 \frac{dx}{(3 - 2x)^2} \]

Теперь интегрируем обе стороны:

\[ \int y^3 \, dy = \int 4 \frac{dx}{(3 - 2x)^2} \]

Интегрирование левой стороны:

\[ \frac{y^4}{4} + C_1 \]

Интегрирование правой стороны можно сделать следующим образом. Воспользуемся заменой переменной \(u = 3 - 2x\), тогда \(du = -2 \, dx\), что даёт \(dx = -\frac{1}{2} du\):

\[ \int 4 \cdot \frac{1}{u^2} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -2 \int u^{-2} \, du = -2 \left(-\frac{1}{u}\right) + C_2 = \frac{2}{u} + C_2 = \frac{2}{3 - 2x} + C_2 \]

Теперь объединяем результаты:

\[ \frac{y^4}{4} = \frac{2}{3 - 2x} + C \]

Для окончательной записи давайте умножим уравнение на 4, чтобы убрать дробь:

\[ y^4 = \frac{8}{3 - 2x} + C \]

В итоге, получаем общее решение для данного дифференциального уравнения. Если остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!