В треугольнике проведена высота ВН = 3, AC = 10, АВ = √45. Найдите ВС.
Чтобы найти длину отрезка \( BC \) в указанном треугольнике, воспользуемся теорией геометрии и свойствами прямоугольных треугольников.
Обозначим точки: пусть \( A \), \( B \) и \( C \) — вершины треугольника. У нас имеется высота \( BH \), проведённая из вершины \( B \) к основанию \( AC \). Данная высота равна 3 (то есть \( BH = 3 \)).
Длина отрезка \( AC \) равна 10, а длина стороны \( AB \) равна \( \sqrt{45} \).
Мы можем обозначить длину отрезка \( HC \) равной \( x \). Тогда длина отрезка \( AH \) будет \( AC - HC = 10 - x \).
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \( ABH \): \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] Подставляем известные значения: \[ (\sqrt{45})^2 = (10 - x)^2 + 3^2 \] Это можно упростить: \[ 45 = (10 - x)^2 + 9 \] Далее, решим уравнение: \[ 45 - 9 = (10 - x)^2 \] \[ 36 = (10 - x)^2 \] Теперь возьмем квадратный корень: \[ 10 - x = 6 \quad \text{или} \quad 10 - x = -6 \] Из первого уравнения: \[ x = 10 - 6 = 4 \] Из второго уравнения: \[ x = 10 + 6 = 16 \quad \text{(не может быть, так как } HC \text{ не может превышать } AC \text{)} \]
Таким образом, \( HC = 4 \). Теперь мы можем найти \( BC \): \[ AC = AH + HC \Rightarrow 10 = (10 - x) + x \] \[ AC = AH + 4 \text{ и } BC = x \]
Теперь рассчитаем \( BC \): Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \( BHC \): \[ BC^2 = BH^2 + HC^2 \] \[ BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Следовательно, длина \( BC = \sqrt{25} = 5 \).
Таким образом, длина отрезка \( BC \) равна 5.
