У=(x-3)^2+2 найти область определения ,область изменения,четность или не четность ,нули функции ,знаков постоянство, монотоность промежутки возрастанию убывания ,наименьшее и наибольшее значение функции

Рассмотрим функцию \( y = (x - 3)^2 + 2 \).

1. Область определения

Функция является квадратичной и определена для всех значений \( x \). Таким образом, область определения: \[ D = \mathbb{R} \] (все значения \( x \)).

2. Область изменения

Квадратичная функция имеет вид параболы, открытой вверх. Минимальное значение функции достигается в вершине параболы. Вершина находится по \( x = 3 \): \[ y(3) = (3 - 3)^2 + 2 = 2. \] При \( x \to \pm \infty \), \( y \to \infty \). Следовательно, область изменения: \[ E = [2, +\infty) \].

3. Четность или нечетность

Чтобы проверить четность функции, используем определение: \[ f(-x) = f(x) \] для четности и \[ f(-x) = -f(x) \] для нечетности.

В данном случае: \[ y(-x) = (-x - 3)^2 + 2 \neq (x - 3)^2 + 2, \] поэтому функция нечетная.

4. Нули функции

Нули функции определяются из уравнения: \[ (x - 3)^2 + 2 = 0. \] Поскольку \( (x - 3)^2 \) не может быть отрицательным, у этого уравнения нет действительных решений. Следовательно, функции не имеет нулей: \[ N = \text{нет} \].

5. Знаковое постоянство

Поскольку \( (x - 3)^2 \geq 0 \) для всех \( x \) и минимальное значение функции 2, то: \[ y \geq 2. \] Таким образом, функция положительна для всех \( x \): \[ \text{Знак: } + \].

6. Монотонность, промежутки возрастания и убывания

Для определения монотонности, найдем производную функции: \[ y' = 2(x - 3). \]

• Если \( y' > 0 \), функция возрастает.
• Если \( y' < 0 \), функция убывает.

Решаем:

1. \( y' = 0 \) при \( x = 3 \).
2. При \( x < 3 \), \( y' < 0 \) (убывание).
3. При \( x > 3 \), \( y' > 0 \) (возрастание).

Таким образом, функция убывает на \( (-\infty, 3) \) и возрастает на \( (3, +\infty) \).

7. Наименьшее и наибольшее значение функции

Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно: \[ \text{Наименьшее значение: } 2, \text{ при } x = 3. \] Наибольшего значения функция не имеет, так как она стремится к бесконечности: \[ \text{Наибольшее значение: } +\infty. \]

Резюмируя, мы имеем:

• Область определения: \( D = \mathbb{R} \).
• Область изменения: \( E = [2, +\infty) \).
• Функция нечетная.
• Нули функции: нет.
• Знак: положительный.
• Монотонность: убывает на \( (-\infty, 3) \) и возрастает на \( (3, +\infty) \).
• Наименьшее значение: 2 при \( x = 3 \); наибольшее значение: \( +\infty \).