y=x^2-6x+8 найти: 1. область определения 2.область изменения 3. четность или нечетность , общего типа 4 нули функции 5 знаков постоянство 6 монотонно промежутки возрастает и…

Давайте разберем функцию \( y = x^2 - 6x + 8 \) по пунктам.

1. Область определения

Функция \( y = x^2 - 6x + 8 \) — это многочлен второй степени, и область определения всех многочленов — это множество всех действительных чисел. Ответ: \( (-\infty; +\infty) \)

2. Область изменения

Для определения области изменения найдем вершину параболы, так как она открыта вверх (коэффициент при \( x^2 \) положителен). Вершина параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). В данной функции \( a = 1 \) и \( b = -6 \): \[ x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \] Теперь подставим \( x = 3 \) в функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y \): \[ y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \] Таким образом, \( y \) принимает минимальное значение \( -1 \) при \( x = 3 \) и стремится к \( +\infty \) при \( x \to \pm\infty \). Ответ: \( [-1; +\infty) \)

3. Четность или нечетность, общего типа

Чтобы определить четность или нечетность функции, проверим \( f(-x) \): \[ f(-x) = (-x)^2 - 6(-x) + 8 = x^2 + 6x + 8 \] Заметим, что \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. Ответ: Функция общего типа.

4. Нули функции

Нули функции (значения \( x \), при которых \( y = 0 \)) можно найти, решив уравнение: \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \] Определим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \] Корни находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2}{2} = \{4, 2\} \] Ответ: \( x_1 = 2, \, x_2 = 4 \)

5. Знак постоянства

Определим интервалы, на которых функция положительна и отрицательна. Исследуем знаки функции на интервалах:

1. \( (-\infty; 2) \) — выбираем, например, \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8 \quad (\text{положительно}) \]
2. \( (2; 4) \) — выбираем \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = -1 \quad (\text{отрицательно}) \]
3. \( (4; +\infty) \) — выбираем \( x = 5 \): \[ y(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 3 \quad (\text{положительно}) \] Итак, знак постоянства:

• \( y > 0 \) на \( (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \)
• \( y < 0 \) на \( (2; 4) \)

6. Монотонные промежутки: возрастание и убывание

Для определения монотонности найдем производную функции: \[ y' = 2x - 6 \] Находим, когда производная равна нулю: \[ 2x - 6 = 0 \implies x = 3 \] Исследуем знаки производной:

• При \( x < 3 \) — \( y' < 0 \) (функция убывает)
• При \( x > 3 \) — \( y' > 0 \) (функция возрастает)

Ответ:

• Убывание на \( (-\infty; 3) \)
• Возрастание на \( (3; +\infty) \)

7. Наименьшее и наибольшее значения функции

Как мы уже определили, наименьшее значение функции \( -1 \) достигается при \( x = 3 \) (это вершина параболы), а наибольшее значение стремится к \( +\infty \) при \( x \to +\infty \).

Ответ:

• Наименьшее значение: \( -1 \) при \( x = 3 \)
• Наибольшее значение: \( +\infty \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!