У=(6/x+1)-1 найти 1. область определения 2.область изменения 3. четность или нечетность , общего типа 4 нули функции 5 знаков постоянство 6 монотонно промежутки возрастает и убывания 7 наименьшее и наибольшее значения функции

Question 1

Задача Задача №2057751

А

Аноним

31 октября 2024 13:42 · публичный вопрос

А

Аноним 31 октября 2024 13:42

У=(6/x+1)-1 найти 1. область определения 2.область изменения 3. четность или нечетность , общего типа 4 нули функции 5 знаков постоянство 6 монотонно промежутки возрастает и убывания 7 наименьшее и наибольшее значения функции

Answer

Давайте разберём функцию \( y = \left( \frac{6}{x} + 1 \right) - 1 \).

1. Область определения

Область определения функции — это все значения \( x \), при которых функция определена. В данном случае, функция будет не определена, когда \( x = 0 \), поскольку деление на ноль невозможно. Таким образом, область определения:

\[ D = \{ x \in \mathbb{R} : x \neq 0 \} \]

2. Область изменения

Прежде всего, упростим нашу функцию:

\[ y = \frac{6}{x} + 1 - 1 = \frac{6}{x} \]

Теперь рассмотрим её поведение при разных значениях \( x \). Когда \( x > 0 \), \( y \) принимает положительные значения и бесконечно увеличивается (стремится к \( +\infty \), когда \( x \) стремится к нулю) и стремится к нулю, когда \( x \) стремится к бесконечности. Когда \( x < 0 \), \( y \) будет отрицательным. Таким образом, область изменения:

\[ E = \{ y \in \mathbb{R} : y \neq 0 \} \]

3. Четность или нечетность

Чтобы проверить четность или нечетность функции, подставим \( -x \):

\[ y(-x) = \frac{6}{-x} = -\frac{6}{x} = -y(x) \]

Так как \( y(-x) = -y(x) \), функция является нечетной.

4. Нули функции

Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Ставим уравнение:

\[ \frac{6}{x} = 0 \]

Это уравнение не имеет решений, потому что дробь может быть равна нулю только, если числитель равен нулю, а в данном случае это невозможно. Следовательно, у функции нет нулей.

5. Знак постоянства

Функция \( y = \frac{6}{x} \) будет положительной при \( x > 0 \) и отрицательной при \( x < 0 \).

6. Монотонность: промежутки возрастания и убывания

Для определения монотонности функции найдем производную:

\[ y' = -\frac{6}{x^2} \]

Поскольку \( y' < 0 \) для всех \( x \neq 0 \), функция убывает на каждом из промежутков, \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \).

7. Наименьшее и наибольшее значения функции

У функции нет наименьшего значения, так как при \( x \to 0^+ \) \( y \to +\infty \), а при \( x \to 0^- \) \( y \to -\infty \). Следовательно:

Наибольшее значение функции: \( +\infty \) при \( x \to 0^+ \).
Наименьшее значение функции: \( -\infty \) при \( x \to 0^- \).

Таким образом, мы разобрали все запрашиваемые аспекты функции \( y = \frac{6}{x} \). Если есть дополнительные вопросы или необходимы уточнения, не стесняйтесь задавать!

Question 2

у=(6/x+1)-1 найти 1. область определения 2.область изменения 3. четность или нечетность , общего типа 4 нули функции 5 знаков постоянство 6 монотонно промежутки возрастает и убывания 7 наименьшее и наибольшее значения функции

Answer

Давайте разберём функцию \( y = \left( \frac{6}{x} + 1 \right) - 1 \). ### 1. Область определения Область определения функции — это все значения \( x \), при которых функция определена. В данном случае, функция будет не определена, когда \( x = 0 \), поскольку деление на ноль невозможно. Таким образом, область определения: \[ D = \{ x \in \mathbb{R} : x \neq 0 \} \] ### 2. Область изменения Прежде всего, упростим нашу функцию: \[ y = \frac{6}{x} + 1 - 1 = \frac{6}{x} \] Теперь рассмотрим её поведение при разных значениях \( x \). Когда \( x > 0 \), \( y \) принимает положительные значения и бесконечно увеличивается (стремится к \( +\infty \), когда \( x \) стремится к нулю) и стремится к нулю, когда \( x \) стремится к бесконечности. Когда \( x < 0 \), \( y \) будет отрицательным. Таким образом, область изменения: \[ E = \{ y \in \mathbb{R} : y \neq 0 \} \] ### 3. Четность или нечетность Чтобы проверить четность или нечетность функции, подставим \( -x \): \[ y(-x) = \frac{6}{-x} = -\frac{6}{x} = -y(x) \] Так как \( y(-x) = -y(x) \), функция является нечетной. ### 4. Нули функции Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Ставим уравнение: \[ \frac{6}{x} = 0 \] Это уравнение не имеет решений, потому что дробь может быть равна нулю только, если числитель равен нулю, а в данном случае это невозможно. Следовательно, у функции нет нулей. ### 5. Знак постоянства Функция \( y = \frac{6}{x} \) будет положительной при \( x > 0 \) и отрицательной при \( x < 0 \). ### 6. Монотонность: промежутки возрастания и убывания Для определения монотонности функции найдем производную: \[ y' = -\frac{6}{x^2} \] Поскольку \( y' < 0 \) для всех \( x \neq 0 \), функция убывает на каждом из промежутков, \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \). ### 7. Наименьшее и наибольшее значения функции У функции нет наименьшего значения, так как при \( x \to 0^+ \) \( y \to +\infty \), а при \( x \to 0^- \) \( y \to -\infty \). Следовательно: - Наибольшее значение функции: \( +\infty \) при \( x \to 0^+ \). - Наименьшее значение функции: \( -\infty \) при \( x \to 0^- \). Таким образом, мы разобрали все запрашиваемые аспекты функции \( y = \frac{6}{x} \). Если есть дополнительные вопросы или необходимы уточнения, не стесняйтесь задавать!