Секцию фехтования посещает одинаковое количество девочек и мальчиков. Средний вес девочек составляет 52,6 кг, а дисперсия веса для девочек равна 1.2 кг. Средний вес мальчиков…
Секцию фехтования посещает одинаковое количество девочек и мальчиков. Средний вес девочек составляет 52,6 кг, а дисперсия веса для девочек равна 1.2 кг. Средний вес мальчиков составляет 58,4 кг, а дисперсия веса для мальчиков равна 2.3 кг. Найди дисперсию веса для всех учеников.
Для нахождения дисперсии веса всех учеников в секции фехтования, где девочки и мальчики представлены в равном количестве, можно воспользоваться следующей формулой для объединенной дисперсии:
\[ D = \frac{n_1 (D_1 + (\bar{x}_1 - \bar{x})^2) + n_2 (D_2 + (\bar{x}_2 - \bar{x})^2)}{n_1 + n_2} \]
где:
- \(D\) - общая дисперсия,
- \(D_1\) - дисперсия девочек,
- \(D_2\) - дисперсия мальчиков,
- \(\bar{x}_1\) - средний вес девочек,
- \(\bar{x}_2\) - средний вес мальчиков,
- \(\bar{x}\) - средний вес всех учеников,
- \(n_1\) и \(n_2\) - количество девочек и мальчиков соответственно.
Поскольку количество девочек и мальчиков одинаково, можем обозначить их количество за \(n\).
- Сначала найдем общий средний вес всех учеников:
\[ \bar{x} = \frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{52.6 + 58.4}{2} = 55.5 \text{ кг} \]
- Теперь подставим известные значения в формулу для дисперсии:
\[ D = \frac{n (1.2 + (52.6 - 55.5)^2) + n (2.3 + (58.4 - 55.5)^2)}{2n} \] \[ D = \frac{1.2 + (52.6 - 55.5)^2 + 2.3 + (58.4 - 55.5)^2}{2} \]
Теперь рассчитываем значения:
\[ (52.6 - 55.5)^2 = (-2.9)^2 = 8.41 \] \[ (58.4 - 55.5)^2 = (2.9)^2 = 8.41 \]
Подставляем это в формулу для \(D\):
\[ D = \frac{1.2 + 8.41 + 2.3 + 8.41}{2} \] \[ D = \frac{20.32}{2} = 10.16 \]
Таким образом, дисперсия веса всех учеников составляет 10.16 кг².
