функция f(x)=a lnx+x^2-x имеет экстремум в точке x=1 при а, равном 1 0 -1 -2 2
Чтобы определить, имеет ли функция \( f(x) = a \ln x + x^2 - x \) экстремум в точке \( x = 1 \), нужно будет найти производную этой функции и проверить, равна ли она нулю в этой точке, а затем удостовериться, что это действительно экстремум.
- Найдем производную функции:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(a \ln x + x^2 - x) = \frac{a}{x} + 2x - 1 \]
- Подставим \( x = 1 \) в производную:
\[ f'(1) = \frac{a}{1} + 2 \cdot 1 - 1 = a + 2 - 1 = a + 1 \]
Для того чтобы в точке \( x = 1 \) был экстремум, необходимо, чтобы \( f'(1) = 0 \):
\[ a + 1 = 0 \]
Это дает:
\[ a = -1 \]
- Теперь нужно проверить, является ли это точкой минимума или максимума. Для этого найдем вторую производную:
\[ f''(x) = -\frac{a}{x^2} + 2 \]
Подставим \( x = 1 \) в вторую производную:
\[ f''(1) = -a + 2 \]
Подставим найденное значение \( a = -1 \):
\[ f''(1) = -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3 \]
Так как \( f''(1) > 0 \), это означает, что точка \( x = 1 \) является минимумом.
Таким образом, значение \( a \), при котором функция имеет экстремум в точке \( x = 1 \), равно \( -1 \).
